Вероятность в теоремах и задачах (с доказательствами и решениями). Кн. 1. Ширяев А.Н. и др.

М.: 2014. — 648 с.

Настоящая книга является «решебником» задач из первых двух глав учебника А. Н.Ширяева «Вероятность-1» и задачника «Задачи по теории вероятностей». Добавлено также много новых задач. Приводимые доказательства и решения будут полезны как студентам и аспирантам, так и преподавателям, демонстрируя как следует решать вероятностные задачи, доказывать вероятностные теоремы и как их излагать.

Формат: pdf

Размер: 3,8 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

Вероятность. В 2-х кн. Ширяев А.Н. (2007; 552с., 416с.)

Задачи по теории вероятностей. Ширяев А.Н. (2006, 416с.)

Вероятность в теоремах и задачах (с доказательствами и решениями). Кн. 1. Ширяев А.Н. и др. (2014, 648с.)

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава I Элементарная теория вероятностей 5
§ 1. Вероятностная модель эксперимента с конечным числом исходов 5
§ 2. Некоторые классические задачи и распределения 30
§ 3. Условные вероятности. Независимость 55
§ 4. Случайные величины и их характеристики 62
§ 5. Схема Бернулли. I. Закон больших чисел 80
§ 6. Схема Бернулли. П. Предельные теоремы (локальная, Муавра—Лапласа, Пуассона) 86
§ 7. Оценка вероятности «успеха» в схеме Бернулли 94
§ 8. Условные вероятности и математические ожидания относительно разбиений 100
§ 9. Случайное блуждание. I. Вероятность разорения и средняя продолжительность при игре с бросанием монеты 106
§ 10. Случайное блуждание. П. Принцип отражения. Закон арксинуса 113
§ 11. Мартингалы. Некоторые применения к случайному блужданию 127
§ 12. Марковские цепи. Эргодическая теорема. Строго марковское свойство 135
Глава II Математические основания теории вероятностей 143
§ 1. Вероятностная модель эксперимента с бесконечным числом исходов. Аксиоматика Колмогорова 143
§ 2. Алгебры и ст-алгебры. Измеримые пространства 157
§ 3. Способы задания вероятностных мер на измеримых пространствах 184
§ 4. Случайные величины. I 220
§ 5. Случайные элементы 230
§ 6. Интеграл Лебега. Математическое ожидание 234
§ 7. Условные вероятности и математические ожидания относительно <т-алгебр 320
§ 8. Случайные величины. II 344
§ 9. Построение процесса с заданными конечномерными распределениями 417
§ 10. Разные виды сходимости последовательностей случайных величин 423
§ 11. Гильбертово пространство случайных величин с конечным вторым моментом 462
§ 12. Характеристические функции 472
§ 13. Гауссовские системы 526
Приложение 608
§ 1. Элементы комбинаторики 608
§ 2. Вероятностные структуры и понятия 614
§ 3. Аналитический аппарат и средства теории вероятностей 617
Литература 635
Предметный указатель 641
Указатель имен 646

В качестве дополнения к нашему учебнику «Вероятность» (1980, 1989, 2004, 2006, 2011) в 2006 и 2011 гг. было издано учебное пособие «Задачи по теории вероятностей» (издательство МЦНМО). В это пособие вошли как «старые» задачи из учебника, так и большое количество «новых» задач, которые мною собирались в течение многих лет. Многие задачи возникали на наших специальных семинарах для студентов и аспирантов в МГУ. В предисловии к пособию «Задачи» мы отмечали, что приводимые, скажем, в § 5 второй главы задачи непосредственно примыкают к теоретическому материалу в § 5 второй главы учебника «Вероятность». При этом, например, запись В1.11.11.1 означает ссылку на книгу А. Н. Ширяева «Вероятность-1», гл. II, § 11, пункт 1, а запись П.11.1 —ссылку на задачу 1, гл. II, § 11 данного пособия.
Тем самым читатель в дополнение к теоретическому материалу получает возможность самоконтроля, решая соответствующие задачи из пособия. Задачи, приводимые в этом пособии, носят разный характер. Некоторые из них можно назвать задачами-упражнениями на проверку усвоения понятий, фактов, теоретических результатов из учебника «Вероятность». Другие задачи (средней и повышенной трудности) требуют уже больше усилий в их решении. Наконец, многие задачи, в сущности, являются теоретическими и призваны дать дополнительный теоретический материал.
Нам неоднократно задавали вопросы по поводу решения многих задач. Именно это и побудило нас подготовить данное издание, содержащее решение задач из пособия. Настоящая «Книга 1» охватывает материал первых двух глав. Следует подчеркнуть, что у нас были многие решения, подготовленные как мною, так и нашими студентами и аспирантами в течение многих лет. Вместе с этими решениями или указаниями, а также решениями из многих других источников у нас образовался первый вариант «решебника». На заключительном этапе основную работу по подготовке текстов решений выполнили И. Эрлих (глава I) и П. Яськов (глава II). Следует особо отметить, что П. Яськов добавил во вторую главу множество новых задач и дал ко многим из задач, и «старым», и «новым», оригинальные решения.
Мы надеемся, что настоящее пособие с решениями задач и доказательствами многих теорем будет полезно как студентам и аспирантам,
так и научным работникам, демонстрируя, как следует решать вероятностные задачи, доказывать теоремы и как надо, по нашему мнению, их излагать. Авторы пособия будут признательны читателям как за замечания к нашим решениям, так и за предложения по поводу решения приводимых задач.