Задачи по теории вероятностей. Ширяев А.Н.

М.: 2006. — 416с.

Настоящее учебное пособие содержит более 1500 задач (включая подзадачи), непосредственно "привязанных" к учебнику автора в двух книгах "Вероятность — 1" и "Вероятность — 2" (2004 г.) и упорядоченных в соответствии с содержанием этих книг. Многие задачи сопровождаются указаниями к их решению. В приложении дан аннотированный указатель основных обозначений и важных понятий теории вероятностей, комбинаторики и теории потенциала, используемых в пособии. Пособие рассчитано на студентов высших учебных заведений по физико—математическим направлениям и специальностям. Может служить учебным пособием для аспирантов и справочным пособием для специалистов.

Формат: pdf

Размер: 1,5 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

Вероятность. В 2-х кн. Ширяев А.Н. (2007; 552с., 416с.)

Задачи по теории вероятностей. Ширяев А.Н. (2006, 416с.)

Вероятность в теоремах и задачах (с доказательствами и решениями). Кн. 1. Ширяев А.Н. и др. (2014, 648с.)

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава I. Элементарная теория вероятностей 7
§ 1. Вероятностная модель эксперимента с конечным числом исходов 7
§ 2. Некоторые классические задачи и распределения 18
§ 3. Условные вероятности. Независимость 30
§ 4. Случайные величины и их характеристики 33
§ 5. Схема Бернулли. I. Закон больших чисел 37
§ 6. Схема Бернулли. П. Предельные теоремы (локальная, Муавра—Лапласа, Пуассона) 40
§ 7. Оценка вероятности «успеха» в схеме Бернулли 43
§ 8. Условные вероятности и математические ожидания относительно разбиений 46
§ 9. Случайное блуждание. I. Вероятность разорения и средняя продолжительность при игре с бросанием монеты 49
§ 10. Случайное блуждание. П. Принцип отражения. Закон арксинуса 52
§ 11. Мартингалы. Некоторые применения к случайному блужданию 57
§ 12. Марковские цепи. Эргодическая теорема. Строго марковское свойство 59
Глава II. Математические основания теории вероятностей 62
§ 1. Вероятностная модель эксперимента с бесконечным числом исходов. Аксиоматика Колмогорова 62
§ 2. Алгебры и ст-алгебры. Измеримые пространства 67
§ 3. Способы задания вероятностных мер на измеримых пространствах 73
§ 4. Случайные величины. I 82
§ 5. Случайные элементы 86
§ 6. Интеграл Лебега. Математическое ожидание 88
§ 7. Условные вероятности и условные математические ожидания относительно <т-алгебр 109
§ 8. Случайные величины. II 118
§ 9. Построение процесса с заданными конечномерными распределениями 141
§ 10. Разные виды сходимости последовательностей случайных величин 142
§ 11. Гильбертово пространство случайных величин с конечным вторым моментом 152
§ 12. Характеристические функции 154
§ 13. Гауссовские системы 166
Глава III. Близость и сходимость вероятностных мер. Центральная предельная теорема 181
§ 1. Слабая сходимость вероятностных мер и распределений 181
§ 2. Относительная компактность и плотность семейства вероятностных распределений 185
§ 3. Метод характеристических функций в доказательстве предельных теорем 188
§ 4. Центральная предельная теорема для сумм независимых случайных величин. I. Условие Линдеберга 195
§ 5. Центральная предельная теорема для сумм независимых случайных величин. П. Неклассические условия 204
§ 6. Безгранично делимые и устойчивые распределения 205
§ 7. «Метризуемость» слабой сходимости 210
§ 8. О связи слабой сходимости мер со сходимостью случайных элементов почти наверное («метод одного вероятностного пространства») 212
§ 9. Расстояние по вариации между вероятностными мерами. Расстояние Какутани—Хеллингера и интегралы Хеллингера. Применение к абсолютной непрерывности и сингулярности мер ... 215
§ 10. Контигуальность (сближаемость) и полная асимптотическая разделимость вероятностных мер 221
§ 11. 0 скорости сходимости в центральной предельной теореме 223
§ 12. О скорости сходимости в теореме Пуассона 225
§ 13. О фундаментальных теоремах математической статистики 226
Глава IV. Последовательности и суммы независимых случайных величин 231
§ 1. Законы «нуля или единицы» 231
§ 2. Сходимость рядов 235
§ 3. Усиленный закон больших чисел 241
§ 4. Закон повторного логарифма 246
§ 5. О скорости сходимости в усиленном законе больших чисел и о вероятностях больших уклонений 250
Глава V. Стационарные (в узком смысле) случайные последовательности и эргодическая теория 256
§ 1. Стационарные (в узком смысле) случайные последовательности. Сохраняющие меру преобразования 256
§ 2. Эргодичность и перемешивание 258
§ 3. Эргодические теоремы 259
Глава VI. Стационарные (в широком смысле) случайные последовательности. £2-теория 264
§ 1. Спектральное представление ковариационной функции 264
§ 2. Ортогональные стохастические меры и стохастические интегралы 266
§ 3. Спектральное представление стационарных (в широком смысле) последовательностей 267
§ 4. Статистическое оценивание ковариационной функции и спектральной плотности 269
§ 5. Разложение Вольда 271
§ 6. Экстраполяция, интерполяция и фильтрация 273
§ 7. Фильтр Калмана—Бьюси и его обобщения 274
Глава VII. Последовательности случайных величин, образующие мартингал 279
§ 1. Определение мартингалов и родственных понятий 279
§ 2. О сохранении свойства мартингальности при замене времени на случайный момент 284
§ 3. Основные неравенства 290
§ 4. Основные теоремы о сходимости субмартингалов и мартингалов 299
§ 5. О множествах сходимости субмартингалов и мартингалов 305
§ 6. Абсолютная непрерывность и сингулярность вероятностных распределений на измеримом пространстве с фильтрацией 306
§ 7. Об асимптотике вероятности выхода случайного блуждания за криволинейную границу 308
§ 8. Центральная предельная теорема для сумм зависимых случайных величин 311
§ 9. Дискретная версия формулы Ито 313
§ 10. Вычисление вероятности разорения в страховании. Мартин-гальный метод 314
§ 11.0 фундаментальных теоремах стохастической финансовой математики. Мартингальная характеризация отсутствия арбитража 317
§ 12. О расчетах, связанных с хеджированием в безарбитражных моделях 318
§ 13. Задачи об оптимальной остановке. Мартингальный подход 320
Глава VIII. Последовательности случайных величин, образующие марковскую цепь 322
§ 1. Определения и основные свойства 322
§ 2. Обобщенное марковское и строго марковское свойства 326
§ 3. О проблематике предельных, эргодических и стационарных распределений вероятностей для марковских цепей 331
§ 4. Классификация состояний марковских цепей по алгебраическим свойствам матриц переходных вероятностей 331
§ 5. Классификация состояний марковских цепей по асимптотическим свойствам переходных вероятностей 332
§§ 6,Ю предельных, стационарных и эргодических распределениях счетных и конечных марковских цепей 338
§ 8. Простое случайное блуждание как марковская цепь 340
§ 9. Задачи об оптимальной остановке для марковских цепей 348
Приложение 352
§ 1. Элементы комбинаторики 352
§ 2. Вероятностные структуры и понятия 358
§ 3. Аналитический аппарат и средства теории вероятностей 361
§ 4. Стационарные (в узком смысле) случайные последовательности 377
§ 5. Стационарные (в широком смысле) случайные последовательности 378
§ 6. Мартингалы 380
§ 7. Марковские цепи 380
Список литературы 399
Предметный указатель 405

Замысел настоящего учебного пособия «Задачи по теории вероятностей» состоял в следующем.
В первых двух изданиях нашей книги «Вероятность» (1980, 1989) ко всем ее восьми главам было приведено большое число задач разнообразного характера. В ходе подготовки третьего, переработанного и дополненного издания, вышедшего в апреле 2004 г. в двух книгах «Вероятность — 1» и «Вероятность —2», возникла идея отдельно издать пособие, содержащее как «старые» задачи из этих книг, так и те «новые», которые по тем или иным причинам не вошли во все эти издания. (Среди этих причин основной, конечно же, была оговоренная при издании ограниченность объема книг.)
Задачи мною постепенно собирались и отбирались в течение многих лет в соответствии с моими интересами, при этом использовались разнообразные источники —учебники, учебные пособия, задачники, монографии, журнальные статьи... Многие из приводимых задач возникали на наших специальных семинарах для студентов и аспирантов.
Практически не представляется возможным дать сейчас точные ссылки на все соответствующие источники. Но некоторое представление о них можно получить по списку литературы, приведенному в конце книги.
К довольно-таки большому числу задач в пособии приводятся и указания к их решению, о чем надо сказать следующее.