Математика для экономистов: Математический анализ. Курс лекций. Малугин В.А.

М.: Эксмо, 2005. — 272 с. — (Высшее экономическое образование).

Книга входит в состав учебного комплекса «Математика для экономистов», специально созданного для экономических вузов страны экономическим факультетом МГУ им. М.В. Ломоносова. Ее цель — в ясной и удобной для восприятия форме дать студенту-экономисту весь объем необходимых ему математических знаний в части математического анализа. При этом студент четко сориентирован, для чего и когда ему будет полезно знание тех или иных разделов дисциплины: каким образом применяется в экономическом анализе математический аппарат дифференциального исчисления, как с помощью теории функции нескольких переменных можно построить производственные функции, функции спроса на ресурсы, функции полезности, изучаемые в микроэкономике, и т.д.

Издание предназначено для студентов и преподавателей экономических факультетов и вузов.

Формат: djvu / zip

Размер: 2,9 Мб

Скачать / Download файл

Предисловие

Учебник написан в помощь студентам экономических факультетов высших учебных заведений и дополнен сборником задач и упражнений по математическому анализу. В учебнике кратко раскрыт важнейший теоретический инструментарий математического анализа, необходимый экономисту для его профессиональной деятельности.

Автору, в течение ряда лет ведущему математические курсы на экономическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова, пришлось столкнуться с проблемами, связанными с отсутствием учебников и сборников задач по математике, отвечающих требованиям современной математизированной экономической науки.

Те пособия, которые сейчас рекомендуют студентам экономических факультетов, стали устаревать (выпуски 60-х годов прошлого века). Современная же математическая литература ориентирована в основном на студентов математических специальностей. А учебники, созданные специально для студентов-экономистов, дают высшую математику на элементарном уровне, недостаточном для полноценного освоения специальных экономических дисциплин. В связи с этим существует потребность в обновлении библиотеки учебной экономико-математической литературы для студентов экономических факультетов и вузов.

Данный курс по математическому анализу соответствует требованиям университетского общеобразовательного стандарта в области математики. Основой для этого курса послужили работы 1-7 (см. в конце книги список литературы). Автор использовал наиболее интересные педагогические находки из этой литературы в части изложения материала в более доходчивой форме, а также наиболее удачные примеры и иллюстрации.

В последние две главы вынесен материал, с которым важно было бы познакомить студентов, но на который, как правило, в течение первого года обучения не остается времени.

СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 9
ГЛАВА1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ 11
Определение функции 12
Способы задания функций 12
Декартова система координат 13
Полярная система координат 13
Формы задания функций 15
Основные свойства функций 16
Преобразование графиков 17
Элементарные функции. Обзор 18
Вопросы для повторения 23
ГЛАВА 2. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 24
Сходимость последовательности 24
Кванторы 25
Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности 26
Ограниченность последовательности 27
Теоремы о сходимости последовательности 28
Вопросы для повторения 29
ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 30
Понятие предела функции 30
Свойства бесконечно малых функций 33
«Связь» между существованием функции в точке x₀ и существованием предела при х-»x₀ 34
Свойства пределов функций 36
Первый замечательный предел 38
Второй замечательный предел 39
Задача о непрерывном начислении процентов 40
Символ Ландау (символ «о»-малое) 43
Свойства символа «о»-малое 44
Асимптотические равенства 46
Вопросы для повторения 49
ГЛАВА 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 51
Определение непрерывности 51
Свойства непрерывных функций 54
Точки разрыва функции. Их классификация 55
Свойства функций, непрерывных на отрезке 58
Вопросы для повторения 60
ГЛАВА 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 61
Производная функции одной переменной 61
Дифференциал функции 66
Правила вычисления производных 67
Правила вычисления дифференциалов 70
Производные некоторых элементарных функций (таблица производных) 71
Инвариантность формы первого дифференциала 75
Вопросы для повторения 75
ГЛАВА 6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 77
Уравнение касательной к кривой 77
Геометрический смысл производной (производная как тангенс угла наклона) 78
Угол между кривыми 80
Геометрический смысл дифференциала 81
Вопросы для повторения 82
ГЛАВА 7. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 83
Производные высших порядков 83
Дифференциалы высших порядков 84
Производные функций, заданных неявно 85
Производные функций, заданных параметрически 87
Вопросы для повторения 88
ГЛАВА 8. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 89
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши 89
Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя) 94
Сравнение функций по скорости роста (теоретические задачи) 96
Формулы Маклорена и Тейлора 98
Разложение элементарных функций по формуле Маклорена 100
Вопросы для повторения 103
ГЛАВА 9. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ 104
Условия возрастания и убывания функции 104
Понятие экстремума 105
Необходимое условие экстремума 106
Первое достаточное условие экстремума 107
Второе достаточное условие экстремума 110
Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке 112
Выпуклость функции. Точки перегиба 112
Схема исследования функции на выпуклость 114
Асимптоты графика функции 115
Исследование функций и построение их графиков 119
Приложение. Эластичность функции 123
Геометрическая интерпретация 123
Свойства эластичности функции 124
Эластичность элементарных функций 126
Вопросы для повторения 127
ГЛАВА 10. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 128
Понятие функции как отображения 128
Введение в функции нескольких переменных 129
Понятие функции нескольких переменных 129
Линии уровня 133
Предел функции нескольких переменных 135
Непрерывность 140
Непрерывность функции нескольких переменных 140
Свойства непрерывных функций нескольких переменных 142
Частные производные 143
Частные производные 143
Геометрический смысл частной производной 145
Понятие дифференцируемости 146
Определение дифференцируемости 146
Связь между дифференцируемостью и непрерывностью 148
Полный дифференциал 153
Полный дифференциал 153
Частные дифференциалы 154
Сложные функции. Их производные 155
Дифференцируемость сложной функции нескольких переменных.. 155
Производная функции Z = z(x,y) при x = x(t) и y = y(t) 157
Производная функции z = z{u,v) при и = и(х,у) и v = v(x,y) 157
Производная функции z = z(u, v) при произвольном задании аргументов 158
Неявные функции. Их производные 158
Уравнение F(x,y) = О в дифференциалах 159
Уравнение F(x,y) = 0 в производных 159
Уравнение' F(x,y,z) = 0 в дифференциалах 160
Уравнение F(x,y,z) = 0 в производных 160
Система уравнений в дифференциалах 161
Однородные функции 162
Производная по направлению 163
Производная по направлению...163
Градиент 165
Свойства градиента 168
Производные и дифференциалы высших порядков 168
Производные высших порядков 168
Дифференциалы высших порядков 172
Формула Тейлора 175
Макроэкономическая функция Кобба-Дугласа 179
Понятие производственной функции 179
Требования к производственной функции 180
Функция Кобба-Дугласа как макроэкономическая производственная функция 181
Вопросы для повторения 185
ГЛАВА 11. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 186
Понятие первообразной 186
Свойства неопределенного интеграла 188
Табличные интегралы 189
Методы нахождения неопределенных интегралов 190
Вопросы для повторения 200
ГЛАВА 12. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 201
Площадь криволинейной трапеции 201
Свойства определенного интеграла 203
Производная интеграла с переменным верхним пределом 206
Формула Ньютона-Лейбница 207
Формула замены переменной в определенном интеграле 209
Формула интегрирования по частям 210
Приближенное вычисление определенных интегралов 211
Оценка определенных интегралов 212
Вычисление площадей плоских фигур 213
Вопросы для повторения 216
ГЛАВА 13. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 217
Несобственные интегралы 1-го рода 217
Эталонный интеграл 1-го рода 218
Несобственные интегралы 2-го рода 219
Эталонный интеграл 2-го рода 220
Исследование на сходимость несобственных интегралов 1-го и 2-го рода от неотрицательных функций 221
Исследование на сходимость интегралов от знакопеременных функций 226
Использование интегралов в экономике 228
Вопросы для повторения 230
ГЛАВА 14. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 231
Понятие двойного интеграла 231
Основные свойства двойного интеграла 234
Нахождение двойных интегралов 235
Вопросы для повторения 239
ГЛАВА 15. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 240
Необходимое и достаточное условия. Определения 240
Операции над множествами 241
Булева алгебра 243
Вопросы для повторения 248
ГЛАВА 16. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 249
Понятие комплексного числа 249
Арифметические операции над комплексными числами 250
Комплексная плоскость 250
Функция комплексного переменного 251
Тригонометрическая форма комплексного числа 251
Формула Муавра 253
Извлечение корня из комплексного числа 254
Показательная форма комплексного числа 256
Свойства комплексной показательной функции 257
Вопросы для повторения 258
ТЕМАТИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ 259
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 263