Математика. Под ред. Журбенко Л.Н., Никоновой Г.А.

М.: Инфра-М, 2009. — 496 с.

Учебное пособие для студентов технических высших учебных заведений, обучающихся по программе Бакалавров в соответствии с государственными образовательными стандартами высшего Профессионального образования.

Формат: pdf

Размер: 8 Мб

Скачать: yandex.disk

См. также: Математика в примерах и задачах. Журбенко Л.Н., Никонова Г.А. и др. (2009, 373с.)

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Список используемых обозначений 5
ЧАСТЬ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 7
1. Линейная алгебра 7
1.1. Определители, их свойства 10
1.2. Системы линейных алгебраических уравнений, их совместность, определенность. Методы Гаусса и Крамера 13
1.3. Действия над матрицами. Матричный способ решения СЛАУ 17
2. Векторная алгебра 21
2.1. Векторы и линейные операции над ними 24
2.2. Базис в пространстве и на плоскости 27
2.3. Проекция вектора на ось и ее свойства 29
2.4. Прямоугольная система координат. Координаты вектора и точки 30
2.5. Скалярное произведение векторов 32
2.6. Векторное произведение векторов 34
2.7. Смешанное (векторно-скалярное) произведение трех векторов 36
2.8. Линейное пространство. Евклидово пространство R" 37
2.9. Линейные преобразования. Собственные значения и собственные векторы. Квадратичные формы R" 41
2.10. Применение методов алгебры в математическом моделировании 47
3. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве: прямая и плоскость 52
3.1. Прямая на плоскости 54
3.2. Плоскость в пространстве 57
3.3. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости 61
4. Аналитическая геометрия на плоскости: кривые 2-го порядка 65
4.1. Общее уравнение кривой 2-го порядка. Окружность 67
4.2. Эллипс 68
4.3. Гипербола 69
4.4. Парабола 71
4.5. Преобразования параллельного переноса и поворота системы координат. Упрощение уравнений кривых 2-го порядка 72
5. Аналитическая геометрия в пространстве: поверхности 2-го порядка 76
5.1. Цилиндрические поверхности 78
5.2. Конус 2-го порядка 79
5.3. Эллипсоид 80
5.4. Гиперболоиды 81
5.5. Параболоиды 82
Глава 2. Введение в математический анализ 84
6. Функции одной переменной. Элементарные функции 84
6.1. Элементы теории множеств. Символика математической логики. Топология числовой прямой 86
6.2. Функции. Область определения. Способы задания ....88
6.3. Основные элементарные функции. Элементарные функции 90
7. Пределы функции одной переменной 91
7.1. Предел последовательности 93
7.2. Предел функции в точке 93
7.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 94
7.4. Леммы о бесконечно малых 95
7.5. Основные теоремы о пределах 96
7.6. Понятие о неопределенностях. I и II замечательные пределы 98
7.7. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые 101
8. Непрерывные функции одной переменной 103
8.1. Определения непрерывности 104
8.2. Точки разрыва 106
8.3. Свойства функций, непрерывных в т. х0 107
8.4. Свойства функций, непрерывных на [а, Ь] 108
Глава 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной 110
9. Дифференцируемые функции одной переменной 110
9.1. Определение производной, ее физический смысл 112
9.2. Геометрический смысл производной 113
9.3. Существование производной и непрерывность 114
9.4. Свойства операции дифференцирования 115
9.5. Производная сложной функции. Логарифмическая производная 116
9.6. Производные основных элементарных функций 117
9.7. Дифференциал 119
9.8. Производные и дифференциалы высших порядков 120
9.9. Производные параметрически заданной функции 121
10. Исследование функций и построение графиков 123
10.1. Основные теоремы дифференциального исчисления 126
10.2. Правило Лопиталя 128
10.3. Монотонность 129
10.4. Экстремумы 130
10.5. Достаточный признак экстремума, использующий вторую производную. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке 132
10.6. Выпуклость, вогнутость 133
10.7. Точка перегиба 134
10.8. Асимптоты 136
10.9. Общая схема исследования функции и построение графика 138
10.10. Применение методов дифференциального исчисления в математическом моделировании 140
Глава 4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 144
11. Дифференцируемые функции нескольких переменных 144
11.1. Понятие функции нескольких переменных. Элементы топологии в R" 146
11.2. Предел и непрерывность функций нескольких переменных 150
11.3. Частные приращения и частные производные 151
11.4. Полное приращение и полный дифференциал, применение в приближенных вычислениях 153
11.5. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков 156
11.6. Производные сложных функций 157
11.7. Неявные функции, их дифференцирование 159
12. Приложения дифференциального исчисления функций нескольких переменных 160
12.1. Экстремумы функции нескольких переменных 162
12.2. Условный экстремум функции нескольких переменных 164
12.3. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности. Линии как пересечение двух поверхностей 167
Список литературы к первой части 173
ЧАСТЬ 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Глава 5. Комплексные числа. Функции комплексного переменного 174
13. Комплексные числа 174
13.1. Алгебраическая форма к.ч., его изображение на комплексной плоскости 176
13.2. Действия над к.ч. в алгебраической форме 177
13.3. Тригонометрическая и показательная формы к.ч 178
13.4. Умножение и деление к.ч. в тригонометрической и показательной формах 179
13.5. Возведение в целую положительную степень и извлечение корня и-й степени из к.ч 180
14. Функции комплексного переменного 181
14.1. Области и линии на комплексной плоскости. Понятие функции комплексного переменного 182
14.2. Предел и непрерывность функции комплексного переменного 185
14.3. Производная функции комплексного переменного. Условия Коши—Римана 187
14.4. Понятие аналитической функции. Сопряженные гармонические функции 188
Глава 6. Интегральное исчисление функций одной переменной 190
15. Неопределенный интеграл 190
15.1. Понятия первообразной и неопределенного интеграла 192
15.2. Основные свойства неопределенного интеграла 193
15.3. Таблица неопределенных интегралов 194
15.4. Методы интегрирования 194
16. Классы интегрируемых функций 197
16.1. Интегрирование рациональных дробей 199
16.2. Интегрирование тригонометрических функций 203
16.3. Интегрирование иррациональных функций 204
17. Определенный интеграл 206
17.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла 209
17.2. Свойства определенного интеграла 211
17.3. Формула Ньютона—Лейбница 213
17.4. Интегрирование заменой переменных и по частям в определенных интегралах 215
17.5. Несобственный интеграл 216
18. Геометрические приложения определенного интеграла 220
18.1. Вычисление площади плоской фигуры 222
18.2. Вычисление объемов тел 227
18.3. Вычисление длины дуги кривой 229
19. Элементы теории функций и функционального анализа 233
19.1. Мера Лебега. Измеримые множества 234
19.2. Измеримые функции. Интеграл Лебега 236
19.3. Функции с ограниченным изменением. интеграл Стилтьеса 238
Глава 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения 241
20. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка 241
20.1. Основные понятия о дифференциальных уравнениях 242
20.2. ОДУ 1-го порядка. Задача Коши. Общее решение ...244
20.3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 246
20.4. Однородные ДУ 1-го порядка 246
20.5. Линейные ОДУ 1-го порядка 247
21. Обыкновенные дифференциальные уравнения 2-го порядка 249
21.1. Основные понятия об ОДУ 2-го порядка 251
21.2. ДУ 2-го порядка, допускающие понижение порядка 252
21.3. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка 253
22. Понятие о решении ОДУ высших порядков и систем дифференциальных уравнений 260
22.1. Линейные ДУ и-го порядка 261
22.2. Нормальные системы ОДУ и их интегрирование методом исключения 262
22.3. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 263
22.4. Дифференциальная модель химических реакций 265
Глава 8. Интегрирование функций нескольких переменных 269
23. Двойной интеграл 269
23.1. Определение двойного интеграла 272
23.2. Свойства двойных интегралов 275
23.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах 275
23.4. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах 279
23.5. Приложения двойных интегралов 282
24. Тройные и и-кратные интегралы 288
24.1. Понятия тройного и и-кратного интеграла 291
24.2. Свойства тройного интеграла 294
24.3. Вычисление тройного интеграла 294
24.4. Приложения тройных интегралов 299
Список литературы ко второй части 303
ЧАСТЬ 3. ПРИКЛАДНЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА
Глава 9. Векторный анализ 304
25. Криволинейный интеграл по длине дуги (I рода) 304
25.1. Кривые в R". Задача о массе кривой. Понятие криволинейного интеграла I рода 305
25.2. Свойства криволинейного интеграла I рода 307
25.3. Вычисление криволинейного интеграла I рода 308
26. Криволинейный интеграл по координатам (II рода) 310
26.1. Определение криволинейного интеграла II рода 312
26.2. Свойства криволинейного интеграла II рода 314
26.3. Вычисление криволинейного интеграла II рода 315
26.4. Связь между криволинейными интегралами I и II рода 317
26.5. Формула Грина 317
26.6. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования 319
26.7. Интегрирование полных дифференциалов 321
26.8. Уравнения в полных дифференциалах 323
27. Поверхностные интегралы 324
27.1. Поверхности в R3 327
27.2. Поверхностный интеграл I рода 329
27.3. Поверхностный интеграл II рода 333
27.4. Формула Остроградского—Гаусса 337
27.5. Формула Стокса 338
28. Скалярное и векторное поля 340
28.1. Скалярное поле и его характеристики 342
28.2. Векторное поле и его характеристики 346
Глава 10. Числовые и функциональные ряды 354
29. Числовые ряды 354
29.1. Понятие числового ряда и его суммы 357
29.2. Основные свойства сходящихся числовых рядов 358
29.3. Необходимый признак сходимости числового ряда 359
29.4. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов 359
29.5. Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница 364
29.6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости 365
30. Степенные ряды 367
30.1. Понятие функционального и степенного рядов. Теорема Абеля 370
30.2. Радиус и интервал сходимости степенного ряда 372
30.3. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов 373
30.4. Ряды Тейлора и Маклорена 374
30.5. Необходимое и достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора 375
30.6. Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена 376
30.7. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям 380
31. Ряды Фурье 382
31.1. Тригонометрический ряд 384
31.2. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье для функции с периодом 2% 385
31.3. Достаточные условия разложения периодической функции Дх) с периодом 2% в ряд Фурье 387
31.4. Ряд Фурье для четных и нечетных функций 388
31.5. Ряд Фурье для функций с периодом 21. Разложение в ряд Фурье непериодических функций 390
Глава 11. Уравнения математической физики 392
32. Основные типы уравнений математической физики 392
32.1. Понятие об уравнениях математической физики. Граничные и начальные условия 393
32.2. Классификация линейных дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка 395
32.3. Построение математической модели задачи распространении тепла 397
33. Методы решения уравнений математической физики 399
33.1. Метод Даламбера 401
33.2. Метод Фурье 403
33.3. Метод конечных разностей для решения уравнений математической физики 409
Список литературы к третьей части 411
ЧАСТЬ 4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ И ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
Глава 12. Элементы теории вероятностей и математической статистики 412
34. Основные понятия теории вероятностей 412
34.1. Понятия пространства элементарных событий и случайного события. Основные формулы комбинаторики 414
34.2. Действия над событиями 416
34.3. Различные определения вероятности 417
34.4. Сложение и умножение вероятностей 420
34.5. Схема испытаний Бернулли 423
35. Случайные величины 424
35.1. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения 426
35.2. Числовые характеристики случайных величин 430
35.3. Примеры распределений дискретных и непрерывных случайных величин 432
35.4. Многомерные случайные величины. Понятие о случайных процессах 437
36. Элементы математической статистики 445
36.1. Основные понятия математической статистики. Построение эмпирического закона распределения .. 448
36.2. Определение неизвестных параметров распределения и выборочного коэффициента корреляции 452
36.3. Проверка статистических гипотез 459
Глава 13. Дискретная математика 466
37. Логические исчисления 466
37.1. Логика высказываний 467
37.2. Равносильные формулы логики высказываний 470
37.3. Элементы логики предикатов 473
37.4. Понятие о формальных системах, языках и грамматиках 474
38. Графы 476
38.1. Основные понятия и способы задания графов 477
38.2. Маршруты, цепи и циклы 480
38.3. Некоторые классы графов 482
38.4. Понятие об автоматах, их задание графами 485
Список литературы к четвертой части 487