Курс чистой математики. Г.Х. Харди.

2-е,

стереотипное,

издание этой книги

вышло в 2006году,

его обложка

выглядит

уже так:

Пер. с англ. - М.: Изд-во Иностранной литературы, 1949 - 512с.

Книга выдающегося английского математика, профессора Кембриджского университета Годфри Гарольда Харди (1877--1947) содержит основные положения математического анализа, разобранные с исчерпывающей полнотой и всей необходимой математической строгостью. В нее также включено большое количество интересных задач и примеров, представляющих собой хороший материал для самостоятельной проработки важнейших положений анализа.

Рекомендуется математикам -- преподавателям математического анализа и студентам первых курсов естественных вузов.

Формат: djvu / zip

Размер: 5,6 Мб

Скачать / Download файл

Из предисловия автора к первому изданию

Эта книга написана в первую очередь для студентов первых курсов университетов, способности которых приближаются к тому уровню, который обычно требуется для получения стипендии. Я надеюсь, что она окажется полезной и для другого круга читателей, но в основном я учитывал интересы именно этого круга. Во всяком случае эта книга написана для математиков; я нигде не пытался идти навстречу студентам технических специальностей, и вообще не принимал во внимание запросов тех читателей, чьи интересы не являются в первую очередь математическими.

Я рассматриваю эту книгу как действительно элементарную. В ней содержится много трудных примеров (преимущественно в конце глав); такие примеры я снабжал, где это было возможно с точки зрения объема, указаниями к решению. Но я всячески старался избегать действительно трудных понятий. Например, равномерная сходимость, двойные ряды, бесконечные произведения даже не упоминаются в этой книге; я не доказываю никаких общих теорем относительно перестановки предельных переходов. В последних двух главах иногда интегрируется степенной ряд, но я ограничиваюсь только простейшими случаями и для каждого из них провожу специальное исследование.
Сентябрь 1908 г.

Предисловие автора к седьмому изданию

В этом издании книга подверглась самым серьезным изменениям со времени второго издания. Я воспользовался тем, что книга заново набиралась, и это дало мне возможность свободно изменять ее содержание.

Бывшее Приложение II (относительно обозначений "О, о и tilde") я включил в соответствующих местах в текст книги. Заново написаны части глав VI и VII, относящиеся к элементарным свойствам производных. Здесь я следую курсу де ла Валле-Пуссена; эта часть книги несомненно значительно улучшена. Эти важные изменения повлекли за собой, конечно, много других более мелких исправлений.

Я включил большое число новых примеров из числа задач, предлагавшихся на экзаменах в Кэмбридже за последние 20 лет, которые будут полезны кэмбриджским студентам. Эти задачи были подобраны для меня Лявом (E.R.Love), который прочел также все гранки и исправил много ошибок.

Общий план книги остался без изменений. Внимательно перечитывая книгу впервые за 20 лет, я неоднократно испытывал желание произвести в ней более радикальные изменения как в содержании, так и в стиле. Она была написана в то время, когда в Кэмбридже пренебрегали математическим анализом, и ее патетический стиль кажется теперь немного смешным. Если бы я переписал ее теперь, то я бы уже не писал (по выражению проф. Литтльвуда) как "проповедник, разговаривающий с каннибалами", а значительно суше и с соответствующей сдержанностью. Более того, я писал бы гораздо короче и смог бы включить значительно больше материала. Книга приняла бы характер обычного курса анализа.
Для такого начинания я не располагаю достаточным временем, и возможно, что это к лучшему, так как, вероятно, я написал бы значительно лучшую, но гораздо менее оригинальную книгу. Эта книга была бы не так полезна в качестве введения к руководствам по анализу, в которых теперь даже в Англии нет недостатка.
Ноябрь 1937 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Из предисловия автора к первому изданию
Предисловие автора к седьмому изданию
Предисловие автора к девятому изданию
ГЛАВА I.	ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
	1-2	Рациональные числа
	3-7	Иррациональные числа
	8	Действительные числа
	9	Соотношения величины между действительными числами
	10-11	Алгебраические действия над действительными числами
	12	Число sqrt(2)
	13-14	Квадратичные иррациональности
	15	Континуум
	16	Непрерывное действительное переменное
	17	Сечения в области действительных чисел. Теорема Дедекинда
	18	Точки накопления
	19	Теорема Вейерштрасса
	Разные примеры
ГЛАВА II.	ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
	20	Понятие функции
	21	Графическое представление функций. Координаты
	22	Полярные координаты
	23	Полиномы
	24-25	Дробно-рациональные функции
	26-27	Алгебраические функции
	28-29	Трансцендентные функции
	30	Графическое решение уравнений
	31	Функции от двух переменных и их графическое представление
	32	Кривые на плоскости
	33	Геометрические места в пространстве
	Разные примеры
ГЛАВА III.	КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
	34-38	Смещения
	39-42	Комплексные числа
	43	Квадратное уравнение с действительными коэффициентами
	44	Диаграмма Аргана
	45	Теорема Муавра
	46	Рациональные функции комплексного переменного
	47-49	Корни из комплексных чисел
	Разные примеры
ГЛАВА IV.	ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО АРГУМЕНТА
	50	Функции целочисленного положительного аргумента
	51	Интерполяция
	52	Конечные и бесконечные классы
	53-57	Свойства, которыми обладают функции от n для больших значений n
	58-61	Определение предела и другие определения
	62	Колеблющиеся функции
	63-68	Общие теоремы о пределах
	69-70	Монотонно возрастающие или убывающие функции
	71	Другое доказательство теоремы Вейерштрасса
	72	Предел xⁿ
	73	Предел (1 + 1/n)ⁿ
	74	Некоторые алгебраические леммы
	75	Предел n(sqrtⁿx - 1)
	76-77	Бесконечные ряды
	78	Бесконечная геометрическая прогрессия
	79	Представление функций от непрерывного действительного переменного с помощью пределов
	80	Грани ограниченной совокупности
	81	Грани ограниченной функции
	82	Верхний и нижний пределы ограниченной функции
	83-84	Общий признак сходимости
	85-86	Пределы комплексно-значных функций и ряды с комплексными членами
	87-88	Приложения к zⁿ и к геометрической прогрессии
	89	Символы О, о, tilde
	Разные примеры
ГЛАВА V.	ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНЭГО ПЕРЕМЕННОГО. НЕПРЕРЫВНЫЕ И РАЗРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
	90-92	Пределы при x --> oo или x --> --oo
	93-97	Пределы при x --> a
	98	Символы О и о, tilde: порядки малости и роста
	99-100	Непрерывные функции действительного переменного
	101-105	Свойства непрерывных функций. Ограниченные функции. Колебание функции в интервале
	106-107	Системы интервалов на прямой. Теорема Гейне -- Бореля
	108	Непрерывные функции нескольких переменных
	109-110	Неявные и обратные функции
	Разные примеры
ГЛАВА VI.	ПРОИЗВОДНЫЕ И ИНТЕГРАЛЫ
	111-113	Производные
	114	Общие правила дифференцирования
	115	Производные комплексно-значных функций
	116	Обозначения дифференциального исчисления
	117	Дифференцирование многочленов
	118	Дифференцирование дробно-рациональных функций
	119	Дифференцирование алгебраических функций
	120	Дифференцирование трансцендентных функций
	121	Повторное дифференцирование
	122	Общие теоремы о производных. Теорема Ролля
	123-125	Максимумы и минимумы
	126-127	Теорема о среднем значении
	128	Теорема Коши о среднем значении
	129	Теорема Дарбу
	130-131	Интегрирование. Логарифмическая функция
	132	Интегрирование многочленов
	133-134	Интегрирование дробно-рациональных функций
	135-142	Интегрирование алгебраических функций. Интегрирование рационализацией. Интегрирование по частям
	143-147	Интегрирование трансцендентных функций v
	148	Площади фигур, ограниченных плоскими кривыми
	149	Длины плоских кривых
	Разные примеры
ГЛАВА VII.	ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
	150-151	Теорема Тейлора
	152	Ряд Тейлора
	153	Приложения теоремы Тейлора к теории максимумов и минимумов
	154	Вычисление некоторых пределов
	155	Касание плоских кривых
	156-158	Дифференцирование функций нескольких переменных
	159	Теорема о среднем для функций двух переменных
	160	Дифференциалы
	161-162	Определенные интегралы
	163	Тригонометрические функции
	164	Вычисление определенного интеграла как предела суммы
	165	Общие свойства определенного интеграла
	166	Интегрирование по частям и подстановкой
	167	Другое доказательство теоремы Тейлора
	168	Приложение к биномиальному ряду
	169	Приближенные формулы для определенных интегралов. Правило Симпсона
	170	Интегралы от комплексно-значных функций
	Разные примеры
ГЛАВА VIII.	СХОДИМОСТЬ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ И НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
	171-174	Ряды с положительными членами. Признаки сходимости Коши и Даламбера
	175	Признаки, основанные на отношениях следующих друг за другом членов
	176	Теорема Дирихле
	177	Умножение рядов с положительными членами
	178-180	Дальнейшие признаки сходимости. Теорема Абеля. Интегральный признак Маклорена
	181	Ряды sum n^--s
	182	Признак сгущения Коши
	183	Дальнейшие признаки, основанные на отношениях
	184-189	Несобственные интегралы
	190	Ряды, содержащие положительные и отрицательные члены.
	191-192	Абсолютно сходящиеся ряды
	193-194	Условно сходящиеся ряды
	195	Знакочередующиеся ряды
	196	Признаки сходимости Абеля и Дирихле
	197	Ряды с комплексными членами
	198-201	Степенные ряды
	202	Умножение рядов
	203	Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы
	Разные примеры
ГЛАВА IX.	ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
	204-205	Логарифмическая функция
	206	Функциональное уравнение для ln x
	207-209	Поведение ln x при x стремящемся к бесконечности или к нулю
	210	Логарифмическая шкала порядков роста
	211	Число e
	212-213	Показательная функция
	214	Общая показательная функция a^x
	215	Представление e^x в виде предела
	216	Представление ln x в виде предела
	217	Обыкновенные логарифмы
	218	Логарифмические признаки сходимости
	219	Экспоненциальный ряд
	220	Логарифмический ряд
	221	Ряд для arc tg x
	222	Биномиальный ряд
	223	Другой способ развития теории показательной и логарифмической функций
	224-226	Аналитическая теория тригонометрических функций
	Разные примеры
ГЛАВА X.	ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ, ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
	227-228	Функции комплексного переменного
	229	Криволинейные интегралы
	230	Определение логарифмической функции
	231	Значения логарифмической функции
	232-234	Показательная функция
	235-236	Общая показательная функция а
	237-240	Тригонометрические и гиперболические функции
	241	Связь между логарифмической и обратными тригонометрическими функциями
	242	Экспоненциальный ряд
	243	Ряды для cos z и sin z
	244-245	Логарифмический ряд
	246	Представление показательной функции в виде предела
	247	Биномиальный ряд
	Разные примеры
Приложение I. Неравенства Гельдера и Минковского
Приложение II. Доказательство того, что каждое алгебраическое уравнение имеет по крайней мере один корень
Приложение III. Замечание о двойных предельных переходах
Приложение IV. Бесконечное в анализе и в геометрии