Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. Э. Камке

М.: Наука, Глав. ред. физ-мат. лит., 1966 - 260с.

Книга Э. Камке является единственным в мировой литературе справочником по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка для одной неизвестной функции. В ней дается конспективное изложение важнейших разделов теории и собрано около 500 уравнений с решениями.

Книга предназначена для широкого круга научных работников и инженеров, сталкивающихся в своей практической деятельности с дифференциальными уравнениями. Значение этого справочника особенно велико в связи с тем, что в настоящее время на русском языке нет книги, в которой бы всесторонне и полно освещалась теория вопроса.

Формат: djvu / zip

Размер: 1,9 Мб

Скачать / Download файл

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию 10
Некоторые обозначения 12
Принятые сокращения в библиографических указаниях 12
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Глава I. Линейные и квазилинейные уравнения 13
§ 1. Введение 13
1.1. Общие понятия, обозначения и терминология 13
1.2. Замечания о решениях 14
§ 2. Линейное однородное уравнение с двумя независимыми переменными: f (х, у) р + g (х, у) q = 0
2.1. Геометрическая интерпретация 15
2.2. Замечания об интегралах и линиях уровня 17
2.3. Характеристики и интегральные поверхности 19
2.4. Решение уравнения посредством характеристик 20
2.5. Решение уравнения посредством комбинирования характеристических уравнений 21
2.6. Частный случай: р + f (х, у) q = 0
2.7. Функциональная зависимость и якобиан 26
2.8. Главный интеграл; решение задачи Коши 29
2.9. Замечания об использовании разложений в ряды 32
2.10. Методы решения 32
§ 3. Линейное однородное уравнение с n независимыми переменными: ∑f_vp(r))p_v = 0
3.1. Определения и замечания 32
3.2. Характеристики и интегральные поверхности 33
3.3. Решение уравнения посредством комбинирования характеристических уравнений 34
3.4. Фундаментальная система интегралов; задача Коши 34
3.5. Редукция уравнения в случае, если известны частные интегралы 36
3.6. Частный случай: p + ∑f_v(x, y) q_v = 0
3.7. Решение задачи Коши 41
3.8. Множители Якоби 42
3.9. Методы решения 43
§ 4. Общее линейное уравнение: 2 /v (г) Pv + /о (*") г = / (г) . . . . 44
4.1. Определения 44
4.2. Сведение общего линейного уравнения к однородному ... 45
4.3. Теорема существования и единственности 46
4.4. Неравенство Хаара 47
4.5. Дополнения для случая п = 2 48
§ 5. Квазилинейное уравнение: 2 /v (г. z) Р\ = £ (r. г) 49
5.1. Геометрическая интерпретация 49
5.2. Характеристики и интегральные поверхности 50
5.3. Решение уравнения посредством характеристик 51
5.4. Сведение квазилинейного уравнения к линейному однородному 54
5.5. Частный случай: р -\- 2 /v С*. У> г) Ч\ = g (х. У, г) ... . 55
5.6. Решение задачи Коши 57
5.7. Разложение в ряды 58
5.8. Методы решения 59
§ 6. Система линейных уравнений 59
6.1. Частный случай: Pv — fv(r)y v—1,.... п 59
6.2. Общая линейная система: определения и обозначения .... 61
6.3. Инволюционные системы и полные системы 62
6.4. Метод Майера для решения якобиевой системы 64
6.5. Свойства полной системы 66
6.6. Однородные системы 67
6.7. Редукция однородной системы 68
6.8. Редукция общей системы 73
6.9. Методы решения 74
§ 7. Система квазилинейных уравнений 74
7.1. Частный случай 74
7.2. Общая квазилинейная система 76
Глава II. Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными 78
§ 8. Общие понятия, обозначения и терминология . . 78
8.1. Геометрическая интерпретаця уравнения 78
8.2. Геометрическая интерпретация характеристик 80
8.3. Определение полосы 82
8.4. Вывод характеристической системы 82
8.5. Другие выводы характеристической системы 84
8.6. Обыкновенные и особые плоскостные элементы 87
8.7. Интегральные полосы и интегральные поверхности 88
8.8. Частный, особый, полный и общий интегралы 89
§ 9. Метод Лагранжа 90
9.1. Первые интегралы 90
9.2. Случай двух неочевидных первых интегралов 92
9.3. Случай одного неочевидного первого интеграла 95
9.4. Получение однопараметрического семейства интегралов из двух неочевидных первых интегралов 96
9.5. Получение частных интегралов из полного интеграла .... 97
9.6. Решение задачи Коши 99
§ 10. Некоторые другие методы решения 101
10.1. Нормальная задача Коши 101
10.2. Общая теорема существования. Метод характеристик Коши 103
10.3. Частный случай: р — f (х, у, г, д) 104
10.4. Представление решения степенным рядом в случае аналитических функций 106
10.5. Более общие разложения в ряды 107
10.6. Методы решения ПО
§11. Решение частных видов нелинейных уравнений с двумя независимыми переменными 111
11.1. F (х, у, г, р) = 0 и F {х, у, г, д) = 0 111
11.2. F{p, д) = 0 111
11.3. F(z, р, д) = 0 112
11.4. p = f{x, g) и g = g(y, p) 113
11.5. f(x,p)^g(y, Я) nF[f(x,p<p(z)), g{y, ?Ф(г))]=0 . . 113
11.6. f(x, p) + g{y, g) = z 113
11-7. P = /(^- я) KF{~>P. 4. xp+yg-z} = 0 113
11.8. F (xp 4- yg, z, p, g) = 0 114
11.9. p2 + g* = / (x2 + У2. УР — хд) 114
11.10. F[f(x)p, g{y)g, *]=0 114
11.11. f(p, g) = xp-(-yg; f однородна пор, д 115
11.12. z = xp-\-yg-\-f(p, g) и F (p, g, z — xp — yg) = 0 .... 116
11.13. F(x, y, p, g) = 0 117
11.14. F (x, y, z, p, 9)=0. Преобразование Лежандра 118
11.15. F{x, у, z, p, g)—0. Преобразование Эйлера 119
11.16. F{xp — z, у, р, д) = 0 120
11.17. xfiy, p, xp — z) + gg(y, p, xp — z) = h(y, p, xp — z) . . 120
11.18. gf (u) = xp — yg; xg f (и) = xp — yg; xf (u, p, g) + yg (и, Р, Я) = h (и, р, д), где и = хр + уд — z 120
Глава III. Нелинейные уравнения с n независимыми переменными 121
§ 12. Нелинейное уравнение с п независимыми переменными: F (г, г, р)=0 121
12.1. Общие понятия, обозначения и терминология 121
12.2. Характеристические полосы и интегральные поверхности . 123
12.3. Сведение уравнения к такому, которое содержит лишь производные искомой функции 124
12.4. Представление решения степенным рядом в случае аналитических функций 126
12.5. Общая теорема существования. Метод характеристик Коши 126
12.6. Частный случай: р = / (х, у, z, q) 128
12.7. Полный интеграл; получение частных интегралов из полного 130
12.8. Метод Якоби 133
12.9. Частный случай: р = f (x, у, д) 134
12.10. Приложение к механике 136
12.11. Оценка Нагумо 137
§ 13. Решение частных видов нелинейных уравнений с n независимыми переменными 138
13.1. F(p) = 0 138
13.2. F{z, p) = 0 139
13.3. /=[/, №-АФ (*)) /„ {хт р„Ч (z) )] = 0 139
13.4. Однородные уравнения • 140
13.5. F (г, z, р) = 0. Преобразование Лежандра 140
13.6. 2^v/v= S xvfv— fn+u где 1<£<л и /v = v=l v=k = /v(*l *ft-i, p„, ..., /?„, 2 ^vPv — ^1 141
l3.7.z = x1pl + ...+xnPn + fipl,...,pn) 142
§ 14. Система нелинейных уравнений 142
14.1. Частный случай: /\, = /v(r, у, г, д), v = 1, ..., т 142
14.2. Теорема существования и единственности для якобиевой системы в области аналитических функций 145
14.3. Теорема существования и единственности для якобиевой системы в области действительных функций. Метод Майера для решения якобиевой системы 143
14.4. Скобки Якоби и Пуассона 145
14.5. Общая нелинейная система 146
14.6. Инволюционные системы и полные системы 147
14.7. Метод Якоби для инволюционной системы, не зависящей от г 148
14.8. Применение преобразования Лежандра 150
14.9. Метод Якоби для общей системы 152
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ОТДЕЛЬНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Предварительные замечания 154
Глава I. Уравнения, содержащие лишь одну частную производную 155
Глава II. Линейные и квазилинейные уравнения с двумя независимыми переменными 157
1-12. f(x, y)p+g(x, y)q = 0 157
13-19. f(x, y)p + g{x, y)q = h{x, у) 161
20—31. f(x, y)p + g{x, y)q = hx(x, y)z + h0(x, y) 162
32-43. f(x, y)p + g(x, y)q = h(x, у, г) 165
44—59. / (x, y, z) p-\- g {x, y, z)q = h (x, у, z); функции /, g линейны относительно z 169
60—65. / (x, у, z) p + g {x, у, z) q= h {x, y, z); функции /, g no z не выше второй степени 175
66—71. Прочие квазилинейные уравнения 174
Глава III. Линейные и квазилинейные уравнения с тремя независимыми переменными 176
1—19. f{x, у, z)wx-{-g(x, у, z)wy-\-h{x, у, z)wz = 0; функции /, g, h степени не выше первой 176
1—6. Одночленные коэффициенты 176
7—11. Двучленные коэффициенты 177
12—19. Трехчленные коэффициенты 177
20—41. / (х, у, z)wx + g {x, у, z) wy + h {х, у, z) wz = 0; функции /, g, h степени не выше второй 181
20—27. Одночленные коэффициенты 181
28—38. Двучленные коэффициенты 182
39—41. Трехчленные коэффициенты 185
42—59. f{x, у, z)wx-\-g(x, у, z)wy-\-h(x, у, z) wz = и, прочие случаи 184
60—64. Общие линейные и квазилинейные дифференциальные уравнения 189
Глава IV. Линейные и квазилинейные уравнения с четырьмя и более независимыми переменными 191
Глава V. Системы линейных и квазилинейных уравнений . . . 196
1—2. Две независимые переменные 196
3—9. Три независимые переменные 197
10—17. Четыре независимые переменные и два уравнения .... 199
18—23. Четыре независимые переменные и три уравнения .... 201
24—29. Пять независимых переменных и два уравнения 204
30—32. Пять независимых переменных и три или четыре уравнения 207
33—36. Прочие системы 208
Глава VI. Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными 210
1—13. ар2+ 210
14—20. f{x, у, z)p2 + 212
21—33. apq + 214
34—42. / (х, у) pq + 217
43—48. f(z) pg+ 222
49—54. (..)p2 + (..)pq+ 223
55—68. ар2 + Ьд2 = f (x, у, г) 225
69-74. f(x, y)p* + g(x, у) q* = h (х, у, z) 228
75—80. f(x, у, z)p2 + g(x. у, z)q* = h(x, у, z) 230
81-88. (..)Р2 + (..)?2 + (..)Р + <--)?+ 231
89-111 .l..)p* + {..)q*+l..)pq+ 234
112—127. Уравнения третьей и четвертой степени относительно р, q 241
128—139. Прочие нелинейные уравнения 243
Глава VII. Нелинейные уравнения с тремя независимыми переменными 246
1—7. Уравнения с одним или двумя квадратами производных 246
8—14. Более двух квадратов производных с постоянными коэффициентами 248
15—21. Остальные уравнения с квадратами производных .... 249
22—31. Уравнения с производными в более высоких степенях . . 252
Глава VIII. Нелинейные уравнения с более чем тремя независимыми переменными 254
Глава IX. Системы нелинейных уравнений 259