Составление дифференциальных уравнений. Пономарев К.К.

Мн.: 1973.— 560 с.

Учебное пособие для математических, химических, биологических, геофизических факультетов университетов и педагогических институтов. Данной руководство по составление обыкновенных дифференциальных уравнений, а также простейший уравнений адресована широкому кругу лиц, встречающихся с составлением дифференциальных уравнений в учебной и производственной работе и практике. В приложениях математики к различным отраслям науки дифференциальные уравнения занимают важное место. Использование ПК - наиболее эффективное и распространенное средство решения прикладных задач естествознания и техники.

Формат: pdf

Размер: 5 Мб

Смотреть, скачать: yandex.disk

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ' . I 3
ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 5
§ 1. Дифференциальные уравнения 5
§ 2. Классификация дифференциальных уравнений . 5
§ 3. Общее семейство решений, частное и особое решения 6
§ 4. Элементарные дифференциальные уравнения 7.
§ 5. Выделение индивидуальных решений 8
§ 6. Построение решения в виде степенного ряда 10
§ 7. Метод последовательных приближений И
§ 8. Продолжение решений 12
ГЛАВА II. СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПО УСЛОВИЯМ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ
§ 1. Общие принципы .. тз
§ 2. Методика составления дифференциальных уравнений 13
§ 3. Схема составления дифференциального уравнения 15
ГЛАВА III. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, РАЗРЕШЕННЫМ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ Об)
§ 1. Притяжение стержня и материальной точки ........ ^Чб'
§ 2. Движение тел постоянной массы 18
§ 3. Движение тел переменной массы (без учета внешних сил) ..... 26
§ 4. Растяжение упругой нитн .. 30
§ 5. Работа опорожнения сосудов 34
§ 6. Изменение яркости света в стеклянной пластине ....... 35
§ 7. Нагрев тела 37
§ 8. Изменение состояния газов в сосудах 40
ГЛАВА IV. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
§ 1. Охлаждение тел , 43
§ 2. Нагрев тел . 46
§ 3. Распределение температуры внутри тел , 48
§ 4. Брус равного напряжения 51
§ 5. Давление зерна на стенки хранилища . 53
§ 6. Барометрическая формула и глубинное давление . 55
§ 7. Прямолинейное горизонтальное движение .....».? 58
§ 8. Вертикальное движение тел 65
§ 9. Падение тел переменной массы . . , SI
§ 10. Криволинейное движение (кривая погони) 83
§ 11. Вращение тел в жидкости . 86
§ 12. Закон всемирного тяготения 88
§ 13. Радиоактивный распад ., 94
§ 14. Электрические заряды 95
§ 15. Поверхность фрезы ,.. 99
§ 16. Трение ременной передачи ,,,.., 101
§ 17. Истечение жидкости из сосудов 103
§ 18. Наполнение сосудов ,,,... 108
§ 19. Установление уровня в сообщающихся сосудах .. 108
§ 20. Кривая депрессии «,.,.. ПО
§ 21. Обеднение раствора ...... s .. 112
§ 22. Растворение твердых тел ИЗ
§ 23. Вентиляция производственного помещения . . . , . , . 119
§ 24. Газовые смеси . . 120
§ 25. Ионизация газов .,. 121
§ 26. Химические реакции 122
§ 27. Рост населения 133
§ 28. Процессы роста в природе н производстве 142
§ 29. Экология популяций 150
§ 30. Плотность муравьев вне муравейника . . • . . * , . . 157
§ 31. Рост денежных вкладов 161
ГЛАВА V. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ОДНОРОДНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ,
§ 1. Изогональные траектории . ТБЗ
§ 2. Геометрические приложения . 165
§ 3. Зеркало, фокусирующее параллельные лучи . 170
§ 4. Траектории полета самолетов 171
ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ
§ 1. Параболическое зеркало 180
§ 2. Концентрация вещества в жидкости 182
ГЛАВА VII. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 1. Геометрические приложения «ю
§ 2. Движение материальной точки 188
§ 3. Температура охлаждающего тела
§ 4. Нагрев тела при стационарном теплопотоке
§ 5. Электрические цепи
§ 6. Рационализаторские предложения
§ 7. Работа сердца
§ 8. Задача о сигарете .
ГЛАВА VIII. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К СПЕЦИАЛЬНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (УРАВНЕНИЯМ БЕРНУЛЛИ, РИККАТИ, ЛАГРАНЖА И КЛЕРО)
§ 1. Уравнение Бернулли
§ 2. Уравнение Риккати
| 3. Уравнение Лагранжа
§ 4. Уравнение Клеро
ГЛАВА IX. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА, РАЗРЕШЕННЫМ ОТНОСИТЕЛЬНО ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ (у"=с)
§ I. Скольжение тела под наклоном !Ш
§ 2. Движение в горизонтальной плоскости при сопротивлении, пропорциональном силе тяжести 220
§ 3. Выброс вверх (без учета треиия) 231
§ 4. Распределение теплоты в стержне 231
§ 5. Расстояние между фермами железнодорожного моста . . . ... 233
ГЛАВА X. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К НЕПОЛНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С 236^
I. Уравнения типа y"=f(x)
§ 1. Переходная кривая железнодорожного пути 237
§ 2. Прямолинейное движение материальной точки в горизонтальной плоскости 230
§ 3. Упругая линия балок 242
II. Уравнения типа «/"=/((«/)
§' 4. Геометрические приложения 255
§ 5. Движение материальной точки под действием силы притяжения . 256
III. Уравнения типа y"=f(y')
§ 6. Определение кривой по радиусу кривизны 257
§ 7. Горизонтальное движение тела при наличии трения 259
§ 8. Движение в вертикальной плоскости 274
§ 9. Равновесие тяжелой нити 280
§ 10. Гибкая иить равного сопротивления 283
IV. Уравнения типа y"=f(x,y')
§ II. Кривая и раднус кривизны 285
V. Уравнения типа y"—f(y, у')
§ 12. Нахождение уравнения кривой по нормали и радиусу кривизны . . . 286
ГЛАВА XI. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 288 \
I. Неполные линейные дифференциальные уравнения
§ I. Гармонические колебания 296
§ 2. Движение тела без трения 307
§ 3. Дифференциальный манометр 312
§ 4. Распределение теплоты в стержнях 313
§ 5. Продольный изгнб прямого стержня 320
§ 6. Движение шарика в трубке (задача Ампера) 328
II. Линейные дифференциальные уравнения
§ 7. Затухающие колебания 330
§ 8. Затухающие колебания в электрической цепи 335
§ 9. Колебания магнитной стрелки без и при наличии успокоителя 3
§ 10. Вынужденные колебания механических систем 350
ГЛАВА XII. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С РАЦИОНАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 363
I. Уравнение Эйлера ^*—^
§ 1. Распределение температуры в продольном ребре параболического сечсннн 303
II. Линейное однородное уравнение с рациональными коэффициентами
§ 2. Толстостенная цилиндрическая оболочка под давлением (задача Лямэ) . . 366
III. Линейное неоднородное уравнение с рацио и ильным и коэффициентами
§ 3. Скорость течения жидкости в трубопроводе Я74
§ 4. Изгиб круглой пластины , 970
ГЛАВА XIII. ЗАДАЧИ. ПРИВОДЯЩИЕ К СПЕЦИАЛЬНЫМ ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (УРАВНЕНИЯМ БЕССЕЛЯ. ЛЕЖАНДРА И МАТЬЕ) Г 385 ^
I. Уравнение Бесселя •
§ 1. Устойчивость стержня формы усеченного конуса, сжимаемого продольной силой 390
§ 2. Устойчивость цилиндрического стержня под действием собственного веса 392
§ 3. Устойчивость вращения гибкой нити 395
§ 4. Распределение температуры в кольцевом ребре прямоугольного профиля 398
П. Обобщенное уравнение Бесселя
§ 5. Маятник переменной длины 400
§ 6. Устойчивость стержня переменного сечения под действием переменной распределенной нагрузки 402
III. Дифференциальные уравнения в частных производных
§ 7. Колебания круглой мембраны 405
IV. Уравнение Лежандра
§ 8. Электрический потенциал двух равносильных зарядов 413
§ 9. Дифференциальное уравнение в частных производных потенциала . . . 415
§ 10. Потенциал притягивающих масс 417
V. Уравнение Матье
§ 11. Динамическая устойчивость стержня под действием переменной_продолыюй силы 424
ГЛАВА XIV. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К СИСТЕМАМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ1ЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ( 436
§ 1. Разложение вещества ^~4ЦЙ-'
§ 2. Относительная кривая погони ( 442
§ 3. Давление в системе двух соединенных цилиндров с газом 445
§ 4. Напряженное состояние диска под действием центробежных сил . . . 447
§ 5. Превращение одного вещества в другое 453
ГЛАВА XV. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К НЕПОЛНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ, высших ПОРЯДКОВ
§ 1. Линия прогиба неразрезиой балки от распределенной нагрузки . . . ТЗв
ГЛАВА XVI. ЗАДАЧИ. ПРИВОДЯЩИЕ К ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (463 }
§ 1. Паровая машина с регулятором ^4вт
ГЛАВА XVII. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ЛИНЕЙНЫМ ОДНОРОДНЫМ ДИФФЕРЕЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИКОЭФФИЦИЕНТАМИ
§ 1. Колебания вала от действия центробежных сил , ^~?72
§ 2. Балка (железнодорожный рельс) на упругом основании 477
§ 3. Колебания однородной балки (приведение дифференциального уравнения в частных производных к обыкновенному) . . . 482
ГЛАВА XVIII. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ЛИНЕЙНЫМ НЕОДНОРОДНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 485
§ I. Деформация стенок цилиндрического резервуара 487
§ 2. Железнодорожная шпала 490
ГЛАВА XIX. ЗАДАЧИ. ПРИВОДЯЩИЕ К СИСТЕМАМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 495
§ 1. Движение материальной точки под действием отталкивающей силы, пропорциональной расстоянию * 497
§ 2. Выброс тела под углом 500
§ 3. Сброс груза с самолета в заданную точку 503
§ 4. Движение планет 504
§ 5. Система двух связанных электрических контуров 509
§ 6. Изменение потенциала электрической линии по времени (приведение системы дифференциальных уравнений в частных производных к системе обыкновенных уравнений) 513
§ 7. Стационарные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в теории систем современной техники и естествознания . . 519
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 529
I. Дифференциальные уравнения первого порядка .... 529
II. Дифференциальные уравнения второго порядка .. 545
III. Системы дифференциальных уравнений первого порядка . . . . 555
IV. Системы дифференциальных уравнений второго порядка . 557

ПРЕДИСЛОВИЕ
В приложениях математики к различным отраслям науки дифференциальные уравнения занимают важное место. Использование ИК-- наиболее эффективное и распространенное средство решения прикладных задач естествознания и техники. Многие реальные процессы с помощью дифференциальных уравнений описываются просто н полно. Поэтому вполне понятно то внимание, которое уделяет-СИ вопросу составления дифференциальных уравнений.
Однако многочисленные и разнообразные приложения теории обыкновенных дифференциальных уравнений требуют в первую очередь знания соответствующих теоретических положений и законов естествознания, техники и других отраслей, которые изучаются обычно после дифференциальных уравнений. По этой причине в курсе дифференциальных уравнений решению практических задач на составление уделяется все еще недостаточное внимание. Прослу-Шйншие этот курс не имеют достаточного навыка в решении задач, выдвигаемых жизнью, производством. Кроме того, в учебниках и учебных пособиях вопросы-составления дифференциальных уравнений обычно ограничиваются элементарными задачами геометрического или кинематического типа. Поэтому целесообразно вернуться к составлению дифференциальных уравнений при изложении специальных дисциплин, а также в процессе практической или научно-исследовательской работы.
Цель автора — создание учебного пособия, которое широко охватило бы различные задачи естествознания и техники и способствовало овладению современной методикой составления дифференциальных уравнений прикладных задач, возникающих в процессе производства или научной деятельности.
Характерной особенностью освоения навыков составления дифференциальных уравнений является изучение многочисленных примеров. В связи с этим полнота изложения имеет здесь существенное значение.
Книга содержит 325 задач на составление дифференциальных уравнений, из которых 194 задачи анализируются подробно.
Рассматриваемые задачи классифицируются по их математическому пришаку: описываемые обыкновенными дифференциальными ураииениями первого, второго, третьего и четвертого порядков, системами этих уравнений первого и второго порядков, а также дифференциальными уравнениями в частных производных, приводящимися к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Для самостоятельного решения подобрана 131 задача, большинство на которых аналогичны разобранным и снабжены ответами, а более трудные — краткими пояснениями к решению.
Учебное пособие предназначено для студентов всех отделение математических, физических, механических, химических, биологических, геофизических, экономических факультетов университетов г. педагогических институтов, а также высших технических учебных заведений.
Книга рассчитана на широкий круг читателей, встречающихся с дифференциальными уравнениями в учебно-методической, производственной и научно-исследовательской практике.