Наглядная математическая статистика. Лагутин М.Б.

2-е изд., испр. - М.: 2009.— 472 с.

Основы теории вероятностей и математической статистики излагаются в форме примеров и задач с решениями. Книга также знакомит читателя с прикладными статистическими методами. Для понимания материала достаточно знания начал математического анализа. Включено большое количество рисунков, контрольных вопросов и числовых примеров. Для студентов, изучающих математическую статистику, исследователей и практиков (экономистов, социологов, биологов), применяющих статистические методы.

Формат: pdf

Размер: 10,7 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
К читателю 5
Часть I. Вероятность и статистическое моделирование 7
Глава 1. Характеристики случайных величин 7
§ 1. Функции распределения и плотности 7
§ 2. Математическое ожидание и дисперсия 10
§ 3. Независимость случайных величин 12
§ 4. Поиск больных 13
Задачи 14
Решения задач 15
Ответы на вопросы 18
Глава 2. Датчики случайных чисел 19
§ 1. Физические датчики 19
§ 2. Таблицы случайных чисел 20
§ 3. Математические датчики 21
§ 4. Случайность и сложность 22
§ 5. Эксперимент «Неудачи» 24
§6. Теоремы существования и компьютер 26
Задачи 26
Решения задач 27
Ответы на вопросы 29
Глава 3. Метод Монте-Карло 30
§ 1. Вычисление интегралов 30
§ 2. «Правило трех сигм» 31
§ 3. Кратные интегралы 32
§ 4. Шар, вписанный в fc-мерный куб 35
§ 5. Равномерность по Вейлю 36
§ 6. Парадокс первой цифры 37
Задачи 38
Решения задач 39
Ответы на вопросы 41
Глава 4. Показательные и нормальные датчики 42
§ 1. Метод обратной функции 42
§ 2. Распределения экстремальных значений 43
§ 3. Показательный датчик без логарифмов 45
§ 4. Быстрый показательный датчик 46
§ 5. Нормальные случайные числа 50
§ 6. Наилучший выбор 52
Задачи 54
Решения задач 54
Ответы на вопросы 57
Глава 5. Дискретные и непрерывные датчики 58
§ 1. Моделирование дискретных величин 58
§ 2. Порядковые статистики и смеси 60
§ 3. Метод Неймана (метод исключения) 64
§ 4. Пример из теории игр 66
Задачи 67
Решения задач 68
Ответы на вопросы 69
Часть II. Оценивание параметров 71
Глава 6. Сравнение оценок 72
§ 1. Статистическая модель 72
§ 2. Несмещенность и состоятельность 73
§ 3. Функции риска 76
§ 4. Минимаксная оценка в схеме Бернулли 78
Задачи 79
Решения задач 80
Ответы на вопросы 83
Глава 7. Асимптотическая нормальность 84
§ 1. Распределение Коши 84
§ 2. Выборочная медиана 86
§ 3. Выборочные квантили 87
§ 4. Относительная эффективность 89
§ 5. Устойчивые законы 91
Задачи 93
Решения задач 94
Ответы на вопросы 98
Глава 8. Симметричные распределения 99
§ 1. Классификация методов статистики 99
§ 2. Усеченное среднее 100
§ 3. Медиана средних Уолша 102
§ 4. Робастность 103
Задачи 106
Решения задач 106
Ответы на вопросы 109
Глава 9. Методы получения оценок ПО
§ 1. Вероятностная бумага 110
§ 2. Метод моментов 112
§ 3. Информационное неравенство 114
§ 4. Метод максимального правдоподобия 116
§ 5. Метод Ньютона и одношаговые оценки 119
§ 6. Метод спейсингов 122
Задачи 123
Решения задач 124
Ответы на вопросы 127
Глава 10. Достаточность 129
§ 1. Достаточные статистики 129
§ 2. Критерий факторизации 130
§ 3. Экспоненциальное семейство 132
§ 4. Улучшение несмещенных оценок 133
§ 5. Шарики в ящиках 134
Задачи 140
Решения задач 141
Ответы на вопросы 144
Глава 11. Доверительные интервалы 145
§ 1. Коэффициент доверия 145
§ 2. Интервалы в нормальной модели 146
§ 3. Методы построения интервалов 151
Задачи 155
Решения задач 156
Ответы на вопросы 158
Часть III. Проверка гипотез 159
Глава 12. Критерии согласия 160
§ 1. Статистический критерий 160
§ 2. Проверка равномерности 161
§ 3. Проверка показательности 164
§ 4. Проверка нормальности 167
§ 5. Энтропия 170
Задачи 175
Решения задач 175
Ответы на вопросы 178
Глава 13. Альтернативы 180
§ 1. Ошибки I и II рода 180
§ 2. Оптимальный критерий Неймана—Пирсона 183
§ 3. Последовательный анализ 187
§ 4. Разорение игрока 190
§ 5. Оптимальная остановка блуждания 193
Задачи 195
Решения задач 195
Ответы на вопросы 197
Часть IV. Однородность выборок 199
Глава 14. Две независимые выборки 200
§ 1. Альтернативы однородности 200
§ 2. Правильный выбор модели 201
§ 3. Критерий Смирнова 202
§ 4. Критерий Розенблатта 203
§ 5. Критерий ранговых сумм Уилкоксона 204
§ 6. Принцип отражения 209
Задачи 214
Решения задач 215
Ответы на вопросы 217
Глава 15. Парные повторные наблюдения 219
§ 1. Уточнение модели 219
§ 2. Критерий знаков 220
§ 3. Критерий знаковых рангов Уилкоксона 222
§ 4. Зависимые наблюдения 227
§ 5. Критерий серий 229
Задачи 231
Решения задач 232
Ответы на вопросы 236
Глава 16. Несколько независимых выборок 237
§ 1. Однофакторная модель 237
§ 2. Критерий Краскела—Уоллиса 237
§ 3. Критерий Джонкхиера 245
§ 4. Блуждание на плоскости и в пространстве 248
Задачи 253
Решения задач 254
Ответы на вопросы 257
Глава 17. Многократные наблюдения 259
§ 1. Двухфакторная модель 259
§ 2. Критерий Фридмана 260
§ 3. Критерий Пейджа 263
§ 4. Счастливый билетик и возвращение блуждания 265
Задачи 269
Решения задач 270
Ответы на вопросы 271
Глава 18. Сгруппированные данные 273
§ 1. Простая гипотеза 273
§ 2. Сложная гипотеза 276
§ 3. Проверка однородности 280
Задачи 282
Решения задач 282
Ответы на вопросы 286
Часть V. Анализ многомерных данных 287
Глава 19. Классификация 288
§ 1. Нормировка, расстояния и классы 289
§ 2. Эвристические методы 291
§ 3. Иерархические процедуры 294
§ 4. Быстрые алгоритмы 297
§ 5. Функционалы качества разбиения 299
§ 6. Неизвестное число классов 307
§ 7. Сравнение методов 309
§ 8. Представление результатов 311
§ 9. Поиск в глубину 311
Задачи 313
Решения задач 313
Ответы на вопросы 315
Глава 20. Корреляция 317
§ 1. Геометрия главных компонент 317
§ 2. Эллипсоид рассеяния 322
§ 3. Вычисление главных компонент 324
§ 4. Линейное шкалирование 326
§ 5. Шкалирование индивидуальных различий 332
§ 6. Нелинейные методы понижения размерности 337
§ 7. Ранговая корреляция 343
§ 8. Множественная и частная корреляции 347
§ 9. Таблицы сопряженности 350
Задачи 352
Решения задач 353
Ответы на вопросы 356
Глава 21. Регрессия 357
§ 1. Подгонка прямой 357
§ 2. Линейная регрессионная модель 360
§ 3. Статистические свойства МНК-оценок 363
§ 4. Общая линейная гипотеза 368
§ 5. Взвешенный МНК 372
§ 6. Парадоксы регрессии 376
Задачи 382
Решения задач 383
Ответы на вопросы 386
Часть VI. Обобщения и дополнения 387
Глава 22. Ядерное сглаживание 388
§ 1. Оценивание плотности 388
§ 2. Непараметрическая регрессия 392
Глава 23. Многомерные модели сдвига 399
§ 1. Стратегия построения критериев 399
§ 2. Одновыборочная модель 399
§ 3. Двухвыборочная модель 406
Глава 24. Двухвыборочная задача о масштабе 411
§ 1. Медианы известны или равны 411
§ 2. Медианы неизвестны и неравны 414
Глава 25. Классы оценок 417
§ 1. L-оценки 417
§ 2. М-оценки 419
§ 3. Д-оценки 423
§ 4. Функция влияния 426
Глава 26. Броуновский мост 428
§ 1. Броуновское движение 428
§ 2. Эмпирический процесс 429
§ 3. Дифференцируемые функционалы 430
Приложение. Некоторые сведения из теории вероятностей и линейной алгебры 435
Раздел 1. Аксиоматика теории вероятностей 435
Раздел 2. Математическое ожидание и дисперсия 435
Раздел 3. Формула свертки 437
Раздел 4. Вероятностные неравенства 437
Раздел 5. Сходимость случайных величин и векторов 438
Раздел 6. Предельные теоремы 439
Раздел 7. Условное математическое ожидание 440
Раздел 8. Преобразование плотности случайного вектора . . 441
Раздел 9. Характеристические функции и многомерное нормальное распределение 442
Раздел 10. Элементы матричного исчисления 444
Таблицы 449
Литература 456
Обозначения и сокращения 460
Предметный указатель 462

Перед Вами, уважаемый читатель, итог размышлений автора о содержании начального курса математической статистики. Настоящая книга —это, в первую очередь, множество занимательных примеров и задач, собранных из различных источников. Задачи предназначены для активного освоения понятий и развития у читателя навыков квалифицированной статистической обработки данных. Для их решения достаточно знания элементов математического анализа и теории вероятностей (краткие сведения по теории вероятностей и линейной алгебре даны в приложении).
Акцент делается на наглядном представлении материала и его неформальном пояснении. Теоремы, как правило, приводятся без доказательств (со ссылкой на источники, где их можно найти). Наша цель —и осветить практически наиболее важные идеи математической статистики, и познакомить читателя с прикладными методами.
Первая часть книги (гл. 1-5) может служить введением в теорию вероятностей. Особенностью этой части является подход к освоению понятий теории вероятностей через решение ряда задач, относящихся к области статистического моделирования (имитации случайности на компьютере). Ее материал, в основном, доступен школьникам старших классов и студентам 1-го курса.
Вторая и третья части (гл. 6-13) посвящены, соответственно, оценкам параметров статистических моделей и проверке гипотез. Они могут быть особенно полезны студентам при подготовке к экзамену по математической статистике.
Четвертая и пятая части (гл. 14-21) предназначаются, в первую очередь, лицам, желающим применить статистические методы для анализа экспериментальных данных.
Наконец, шестая часть (гл. 22-26) включает в себя ряд более специальных тем, обобщающих и дополняющих содержание предыдущих глав.
Собранный в книге материал неоднократно использовался на занятиях по математической статистике на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова.
Автор будет считать свой труд небесполезным, если, перелистав книгу, читатель не потеряет к ней интереса, а захочет ознакомиться
с теорией и приложениями статистики как по этому, так и по другим учебникам.
При работе над книгой образцом для автора была популярная серия книг для школьников Я. И. Перельмана. Хотелось, по возможности, использовать живую форму изложения и стиль, характерный для этой серии.