Пособие к решению задач по высшей математике. Гусак А.А.

Мн.: БГУ, 1973.— 532 с.

Пособие включает следующие разделы: аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве, векторная алгебра, определители и матрицы, введение в анализ, дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной, дифференциальное исчисление функций нескольких переменных , дифференциальные уравнения. Пособие содержит определения основных понятий, соответствующие формулы, около 700 примеров и задач с подробными решениями. В конце каждого параграфа помещены задачи для самостоятельного решения, приведены ответы, к некоторым задачам даны указания.

Формат: pdf

Размер: 7,6 Мб

Смотреть, скачать: yandex.disk

Оглавление
I. Аналитическая геометрия, векторная алгебра, определители, матрицы
Глава 1. Аналитическая геометрия на плоскости
§ 1.1. Система прямоугольных декартовых координат на плоскости. Простейшие задачи 3,
§ 1.2. Уравнение линии в прямоугольных декартовых координатах 12'
§ 1.3. Прямая линия на плоскости 20
1.3.1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках . . 20
1.3.2. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Пересечение двух прямых 26
1.3.3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Пучок прямых. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки 32
1.3.4. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой 34
§ 1.4. Линии второго порядка 44
1.4.1. Окружность 44
1.4.2. Эллипс 47
1.4.3. Гипербола 51
1.4.4. Парабола 54
§ 1.5. Преобразования прямоугольных координат 60
§ 1.6. Полярные координаты 68
§ 1.7. Параметрические уравнения линии 79
Глава 2. Определители и системы линейных алгебраических уравнений
§ 2.1. Определители второго и третьего порядка, их свойства 84
2.1.1. Некоторые приложения определителей к аналитической геометрии 87
§ 2.2. Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью определителей 91
Глава 3. Векторная алгебра
§ 3.1. Основные понятия 98
§ 3.2. Координаты вектора. Простейшие действия над векторами, заданными своими координатами 108;
§ 3.3 Скалярное произведение . 117
§ 3.4. Векторное произведение 123
§ 3.5. Смешанное произведение. Двойное векторное произведение 130
Глава 4. Аналитическая геометрия в пространстве
§ 4.1. Плоскость в пространстве 137
4.1.1. Общее уравнение плоскости. Уравнение в отрезках. Составление уравнения плоскости по различным ее заданиям 137
4.1.2. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости 143
4.1.3. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности н перпендикулярности двух плоскостей . , , 152
§ 4.2. Прямая в пространстве 157
4.2.1. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две точки 153
4.2.2. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Взаимное расположение двух прямых в пространстве . . 163
4.2.3. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми 169
§ 4.3. Прямая и плоскость в пространстве , 174
§ 4.4. Поверхности в пространстве. Сфера. Поверхности вращения. Цилиндрические и конические поверхности 178
§ 4.5. Поверхности второго порядка 186
Глава 5. Матрицы и их применение
§ 5.1. Матрицы, основные действия над ними 198
§ 5.2. Линейные преобразования на плоскости и в пространстве. Аффинные преобразования. Собственные векторы матрицы 205
§53. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду 212
§ 5.4. Приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду , , . 222
II. Введение в анализ
Глава 6. Функция
§ 6.1. Понятие функции. Область определения функции , . , 233
§ 6.2. График функции. Простейшие преобразования графика , 241
§ 6.3. Предел переменной величины. Бесконечно малая и бесконечно большая величина 253
§ 6.4. Нахождение пределов . 262
К 6.5. Число е, lim 5!£f = 1 . ' 270
§ 6.6. Разные примеры на нахождение пределов 276
§ 6.7. Сравнение бесконечно малых величин 279
§ 6.8. Непрерывность функции , 282
III. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Глава 7. Производная и дифференциал
7.1. Производные степенных и тригонометрических функций 289
7.2. Производная сложной функции 291
7.3. Производные показательных и логарифмических функций 294
7.4. Производные обратных тригонометрических функций 296
7.5. Производные неявных функций , 298
7.6. Производные высших порядков 300
7.7. Производные гиперболических функций и функций, заданных параметрически 301
7,8. Дифференциал функции 304
Глава 8. Приложения производной
§ 8.1. Правило Лопиталя—Бернулли 307
§ 8.2. Касательная и нормаль к плоской кривой. Угол между кривыми. Кривизна плоской кривой. Скорость и ускорение 313
§ 8.3. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции 321
§ 8.4. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба. Асимптоты кривой 330
§ 8.5. Исследование функций и построение их графиков 336
IV. Интегральное исчисление функций одной переменной
Глава 9. Неопределенный интеграл
§ 9.1. Интегрирование разложением . 351
§ 9.2. Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента функции , 353
§ 9.3. Метод подстановки 356
§ 9.4. Метод интегрирования по частям 361
§ 9.5. Интегрирование некоторых функции, содержащих квадратный трехчлен ' 365
§ 9.6. Интегрирование рациональных функций . 359
§ 9.7. Интегрирование тригонометрических функций 378
§ 9.8. Интегрирование некоторых иррациональных функций - . 383
§ 9.9. Интегрирование гиперболических функций 387
Глава 10. Определенный интеграл и его приложения
§ 10.1. Вычисление .определенного интеграла 390
§ 10.2. Площадь криволинейной фигуры в декартовых и полярных координатах 394
§ 10.3. Длина дуги кривой . 40!
§ 10.4. Объем тела вращения 405
§ 105. Приложения определенных интегралов к решению простейших физических задач 410
§ 10.6. Несобственные интегралы 413
V. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Глава 11. Функция нескольких переменных
§ 11.1. Область определения функции двух и трех переменных. Частное и полное приращение 418
§ 11.2. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность 422
Глава 12. Производные и дифференциалы
§ 12.1. Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных 427
§ 12.2. Производные и дифференциалы высших порядков 430
§ 12.3. Дифференцирование неявных функций 433
§ 12.4. Дифференцирований сложных функций 436
Глава 13. Применения частных производных
§ 13.1. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 439
§ 13.2. Экстремум функции нескольких переменных 442
§ 13.3. Наибольшее и наименьшее значения функции . 446
VI. Дифференциальные уравнения
Глава 14. Дифференциальные уравнения первого порядка
§ 14.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 457
§ 14.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка 462
§ 14.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли 467
§ 14.4. Уравнения в полных дифференциалах 473
§ 14.5. Разные дифференциальные уравнения первого порядка 479
§ 14.6. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям 480
Глава 15. Дифференциальные уравнения второго порядка
§ 15.1. Простейшие типы интегрируемых уравнений второго порядка, случаи понижения порядка 491
§ 15.2. Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 495
§ 15.3. Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 497
Глава 16. Дифференциальные уравнения порядка выше второго. Системы дифференциальных уравнений
§ 16.1. Уравнения, допускающие понижение порядка 504
§ 16.2. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами 507
§ 16.3. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 510
§ 16.4. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами 517
Приложение 524
Литература 525