Курс высшей математики. Баврин И.И.

2-е изд., перераб. и доп. - М.: 2004.— 560 с.

Учебник соответствует примерной программе дисциплины "Математика" для направления 540100 "Естествознание", специальности "Физика" педагогических вузов. Состоит из трех разделов. Первый раздел - аналитическая геометрия и линейная алгебра, второй - математический анализ, третий - специальные главы высшей математики, в том числе теория поля, элементы теории функций комплексной переменной, интеграл Фурье, основные уравнения и задачи математической физики, теория вероятностей, элементы математической статистики, элементы вариационного и операционного исчислений. В приложении приведены таблицы из теории вероятностей и математической статистики, дополнительная таблица интегралов и основные соотношения и формулы из школьной математики. Приведено много разнообразных примеров и задач, иллюстрирующих понятия высшей математики и ее методы.

Формат: pdf

Размер: 3,7 Мб

Скачать: yandex.disk

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 3
Раздел I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 4
Глава 1. СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ . . . . 4
§ 1.1. Декартова прямоугольная и полярная системы координат на плоскости . . . . 4
§ 1.2. Простейшие задачи на плоскости 7
§ 1.3. Геометрическое истолкование уравнения с двумя переменными 8
§ 1.4. Прямая линия 9
§ 1.5. Основные задачи на прямую 18
§ 1.6. Уравнение линии 19
Глава 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 23
§ 2.1. Понятие вектора и линейные операции над векторами 23
§ 2.2. Нелинейные операции над векторами 37
Глава 3. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 44
§ 3.1. Матрицы и действия над ними 44
§ 3.2. Определители 48
§ 3.3. Выражение векторного и смешанного произведений векторов через координаты сомножителей 61
§ 3.4. Системы линейных уравнений 62
Глава 4. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 75
§ 4.1. Плоскость 75
§ 4.2. Прямая в пространстве 80
§ 4.3. Основные задачи на плоскость и прямую в пространстве 85
Глава 5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ 86
§ 5.1. Кривые второго порядка в канонической форме 86
§ 5.2. Изучение поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям 95
Глава 6. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 102
§ 6.1. Приведение матрицы квадратичной формы к диагональному виду 102
§ 6.2. Общее уравнение кривой второго порядка, его приведение к каноническому виду. . 105
§ 6.3. Инварианты кривых второго порядка 109
§ 6.4. Уравнение центра. Вырождение кривых второго порядка 111
Раздел II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 113
Глава 7. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 113
§ 7.1. Определение и способы задания функции 113
§ 7.2. Обзор элементарных функций и их графиков 118
§ 7.3. Предел функции 125
§ 7.4. Бесконечно малые и бесконечно большие величины 131
§ 7.5. Основные теоремы о пределах и их применение 134
§ 7.6. Непрерывность функции 142
§ 7.7. Комплексные числа 146
Глава 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 151
§ 8.1. Понятие производной и ее механический и геометрический смысл 151
§ 8.2. Правила дифференцирования функций и производные элементарных функций 155
§ 8.3. Дифференциал функции 160
§ 8.4. Производные и дифференциалы высших порядков 162
§ 8.5. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование 166
§ 8.6. Свойства дифференцируемых функций 167
§ 8.7. Возрастание и убывание функций. Максимум и минимум 173
§ 8.8. Построение графиков функций 179
§ 8.9. Формула Тейлора 181
Глава 9. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 187
§ 9.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл 187
§ 9.2. Основные методы интегрирования 190
§ 9.3. Интегрирование дробно-рациональных функций 191
§ 9.4. Интегрирование тригонометрических выражений 196
§ 9.5. Интегрирование простейших иррациональностей 197
§ 9.6. Понятие определенного интеграла 199
§ 9.7. Основные свойства определенного интеграла 202
§ 9.8. Виды несобственных интегралов, их сходимость 207
§ 9.9. Геометрические приложения определенного интеграла 213
§ 9.10. Физические приложения определенного интеграла 222
§ 9.11. Вектор-функция скалярного аргумента 225
Глава 10. РЯДЫ 236
§ 10.1. Числовые ряды 236
§ 10.2. Функциональные ряды 248
§ 10.3. Степенные ряды в действительной области 250
§ 10.4. Тригонометрические ряды 259
Глава 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 266
§ 11.1. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции 266
§ 11.2. Частные производные. Полный дифференциал 272
§ 11.3. Частные производные и дифференциалы высших порядков 280
§ 11.4. Экстремум функций двух переменных 283
§ 11.5. Метод наименьших квадратов 285
Глава 12. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 287
§ 12.1. Двойные интегралы 287
§ 12.2. Тройные интегралы 301
§ 12.3. Криволинейные интегралы 306
§ 12.4. Поверхностные интегралы 318
Глава 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 327
§ 13.1. Основные понятия о дифференциальных уравнениях 327
§ 13.2. Дифференциальные уравнения первого порядка 327
§ 13.3. Уравнения высших порядков 333
§ 13.4. Линейные уравнения второго порядка 337
§ 13.5. Системы линейных дифференциальных уравнений 346
Раздел III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ 350
Глава 14. ТЕОРИЯ ПОЛЯ 350
§ 14.1. Скалярные поля 350
§ 14.2. Векторные поля 354
§ 14.3. Дифференциальные операции второго порядка и их приложения 371
Глава 15. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 379
§ 15.1. Функции комплексной переменной 379
§ 15.2. Дифференцирование функций комплексной переменной 382
§ 15.3. Интегралы по комплексному переменному 385
§ 15.4. Равномерно сходящиеся ряды функций комплексной переменной 390
§ 15.5. Элементарные функции комплексной переменной 395
§ 15.6. Ряд Тейлора 400
§ 15.7. Ряд Лорана 402
§ 15.8. Изолированные особые точки аналитической функции 404
§ 15.9. Вычеты 406
Глава 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ 410
§ 16.1. Интеграл Фурье 410
§ 16.2. Дельта-функция 415
Глава 17. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 418
§ 17.1. Основные понятия о дифференциальных уравнениях с частными производными второго порядка 418
§ 17.2. Вывод уравнения колебаний струны 419
§ 17.3. Вывод акустического уравнения 421
§ 17.4. Вывод уравнения теплопроводности 423
§ 17.5. Классификация задач математической физики 424
§ 17.6. Задача Коши 426
§ 17.7. Смешанная задача для одномерного однородного волнового уравнения и ее решение методом Фурье 429
§ 17.8. Задача Дирихле для круга 435
Глава 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 438
§ 18.1. Основные понятия. Определение вероятности 438
§ 18.2. Свойства вероятности 443
§ 18.3. Основные формулы комбинаторики 448
§ 18.4. Дискретные случайные величины 449
§ 18.5. Математическое ожидание дискретной случайной величины 450
§ 18.6. Дисперсия дискретной случайной величины 453
§ 18.7. Основные законы распределения дискретных случайных величин 455
§ 18.8. Непрерывные случайные величины 461
§ 18.9. Закон больших чисел 470
§ 18.10. Использование теории вероятностей при обработке экспериментальных данных 473
§ 18.11. Двумерные случайные величины 475
Глава 19. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 476
§ 19.1. Выборочный метод 476
§ 19.2. Оценки параметров генеральной совокупности по ее выборке 480
§ 19.3. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения 491
§ 19.4. Проверка статистических гипотез 497
§ 19.5. Линейная корреляция 499
Глава 20. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО И ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЙ 505
§ 20.1. Элементы вариационного исчисления 505
§ 20.2. Элементы операционного исчисления 511
Глава 21. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 522
§ 21.1. Основные понятия 522
§ 21.2. Евклидово пространство 526
§ 21.3. Линейные операторы 529
Глава 22. НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 535
§ 22.1. Численное интегрирование 535
§ 22.2. Численное решение уравнений 538
ПРИЛОЖЕНИЯ 543
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 556