Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Задачи и решения. Просветов Г.И.

2-е изд., доп. - М.: 2009. — 208 с.

В учебно-практическом пособии рассмотрены основные методы и приемы линейной алгебры и аналитической геометрии. Книга содержит как теоретический материал курса линейной алгебры и аналитической геометрии, так и практические примеры и задачи, позволяющие успешно овладеть знаниями по изучаемой дисциплине.

Пособие содержит задачи для самостоятельного решения с ответами и задачи для контрольной работы, соответствующие программе курса.

Для преподавателей и студентов различных специальностей, изучающих высшую математику.

Формат: djvu

Размер: 2,5 Мб

Скачать: drive.google

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
ГЛАВА 1. Матрицы 5
1.1. Действия с матрицами 6
1.2. Свойства действий с матрицами 9
ГЛАВА 2. Определители 10
2.1. Определители второго порядка 10
2.2. Определители третьего порядка 10
2.3. Алгебраические дополнения и миноры 11
2.4. Разложение определителя по строке или столбцу 12
2.5. Свойства определителей 13
2.6. Вычисление определителей 14
ГЛАВА 3. Обратная матрица 17
3.1. Алгоритм нахождения обратной матрицы 17
3.2. Нахождение обратной матрицы для матрицы второго порядка 17
3.3. Нахождение обратной матрицы для матрицы третьего порядка 18
3.4. Свойства обратной матрицы 19
ГЛАВА 4. Системы линейных уравнений 20
4.1. Основные определения 20
4.2. Правило Крамера 20
4.3. Матричный метод решения систем линейных уравнений 23
4.4. Ступенчатый вид матрицы. Ранг матрицы 24
4.5. Метод Гаусса 26
4.6. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса 30
ГЛАВА 5. Векторы 32
5.1. Действия с векторами 32
5.2. Базис 33
5.3. Декартова система координат 34
5.4. Система координат на прямой 34
5.5. Декартова прямоугольная система координат на плоскости 35
5.6. Декартова прямоугольная система координат в пространстве ... 36
5.7. Координаты вектора. Преобразование координат вектора при основных операциях 37
5.8. Модуль вектора. Расстояние между двумя точками 38
5.9. Направляющие косинусы 38
5.10. Критерий коллинеарности векторов 39
5.11. Деление отрезка в данном отношении 40
ГЛАВА 6. Скалярное произведение векторов 41
6.1. Определение и основные свойства скалярного произведения векторов 41
6.2. Угол между векторами 42
6.3. Проекция вектора на ось 43
6.4. Ортогональные векторы 43
ГЛАВА 7. Векторное произведение векторов 44
7.1. Правая и левая тройки векторов 44
7.2. Определение и основные свойства векторного произведения векторов 45
7.3. Вычисление векторного произведения векторов 45
ГЛАВА 8. Смешанное произведение векторов 48
8.1. Определение и основные свойства смешанного произведения векторов 48
8.2. Вычисление смешанного произведения векторов 48
8.3. Условие компланарности векторов 49
8.4. Геометрический смысл смешанного произведения векторов .... 49
ГЛАВА 9. Полярные координаты 51
ГЛАВА 10. Комплексные числа 53
10.1. Возникновение комплексных чисел 53
10.2. Алгебраическая форма комплексного числа 53
10.3. Действия с комплексными числами 54
10.4. Тригонометрическая форма комплексного числа 56
10.5. Показательная форма комплексного числа 58
10.6. Степень комплексного числа 59
10.7. Корень/7-й степени из комплексного числа 59
ГЛАВА 11. Плоскость 61
11.1. Общее уравнение плоскости 61
11.2. Частные случаи расположения плоскости 62
11.3. Уравнение плоскости в отрезках 63
11.4. Нормальное уравнение плоскости 64
11.5. Расстояние отточки до плоскости 64
11.6. Уравнение плоскости, проходящей через три точки 64
11.7. Взаимное расположение плоскостей 65
11.8. Угол между двумя плоскостями 68
ГЛАВА 12. Прямая в пространстве 69
12.1. Канонические уравнения прямой 69
12.2. Параметрические уравнения прямой 70
12.3. Связь между параметрическими и каноническими уравнениями прямой 70
12.4. Прямая как линия пересечения двух плоскостей 72
12.5. Взаимное расположение прямой и плоскости 73
12.6. Угол между прямой и плоскостью 78
12.7. Расстояние от точки до прямой 78
12.8. Взаимное расположение прямых 79
12.9. Угол между двумя прямыми 81
ГЛАВА 13. Прямая на плоскости 83
13.1. Различные виды уравнений прямой на плоскости 83
13.2. Взаимное расположение прямых на плоскости 84
13.3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки 85
13.4. Расстояние от точки до прямой 86
13.5. Угол между двумя прямыми на плоскости 86
ГЛАВА 14. Кривые второго порядка 88
14.1. Эллипс 88
14.2. Гипербола 90
14.3. Парабола 92
ГЛАВА 15. Преобразования координат 93
15.1. Параллельный перенос 93
15.2. Поворот осей координат 94
ГЛАВА 16. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду 95
ГЛАВА 17. Инварианты кривых второго порядка 97
ГЛАВА 18. Поверхности второго порядка 99
ГЛАВА 19. Линейные пространства 101
19.1. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис 106
ГЛАВА 20. Подпространства линейного пространства 109
20.1. Примеры подпространств линейного пространства 109
20.2. Способы задания подпространств 111
20.3. Базис системы векторов 114
20.4. Сумма и пересечение подпространств 115
ГЛАВА 21. Преобразования базиса 117
21.1. Матрица перехода 117
21.2. Связь между координатами вектора в разных базисах 118
ГЛАВА 22. Линейные операторы 119
ГЛАВА 23. Многочлены 125
23.1. Действия с многочленами 125
23.2. Схема Горнера 126
ГЛАВА24. Собственные векторы 128
24.1. Нахождение собственных векторов и собственных значений ... 128
ГЛАВА 25. Жорданова нормальная форма 132
ГЛАВА 26. Функции от матрицы 137
ГЛАВА 27. Минимальный многочлен 139
ГЛАВА 28. Евклидовы пространства 141
28.1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта 142
ГЛАВА 29. Проекция вектора на подпространство 145
ГЛАВА 30. Решение систем линейных уравнений методом наименьших квадратов 148
ГЛАВА 31. Билинейные функции 150
31.1. Примеры билинейных функций 150
31.2. Симметрические и кососимметрические билинейные функции 151
31.3. Матрица билинейной функции 151
31.4. Преобразование матрицы билинейной функции при переходе к новому базису 152
ГЛАВА 32. Квадратичные формы 154
32.1. Соответствие между симметрическими билинейными функциями и квадратичными формами 154
32.2. Матрица квадратичной формы 155
32.3. Положительная определенность квадратичной формы. Критерий Сильвестра 156
32.4. Канонический вид квадратичной формы. Приведение квадратичной формы ортогональным преобразованием к каноническому виду 156
32.5. Нормальный вид квадратичной формы 160
32.6. Метод Якоби 161
ГЛАВА 33. Применение квадратичных форм в теории кривых второго порядка 162
ГЛАВА 34. Пара квадратичных форм 164
ГЛАВА 35. Линейные операторы в евклидовом пространстве 167
35.1. Сопряженный оператор 167
35.2. Симметрический оператор 169
35.3. Ортогональный оператор 169
35.4. Полярное разложение 173
ГЛАВА 36. Модель Леонтьева 175
Ответы 179
Программа учебного курса «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» 184
Задачи для контрольной работы по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» 191
Литература 202