Математический анализ. Базовые понятия. Соколов А.В., Шагин В.Л.

М.: 2019. — 245 с.

Учебное пособие посвящено основам математического анализа. В нем в доходчивой форме объясняется происхождение и существо фундаментальных понятий, на которых строится теория: предел, непрерывность, производная, интеграл, подробно рассматриваются методы исследования функций и построения графиков. Изложение теоретических вопросов сопровождается иллюстрирующими примерами, а также многочисленными задачами и вопросами, позволяющими оценить степень усвоения материала. Предлагаемое учебное пособие следует рассматривать как дополнение к основному учебнику по курсу математического анализа, рекомендованному преподавателем данной дисциплины.

Формат: pdf

Размер: 37 Мб

Смотреть, скачать: Купить в MyShop или Book24

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Глава 1. Предел последовательности 9
1.1. Понятие о пределе 9
1.2. Бесконечные числовые последовательности 13
1.2.1. Определение последовательности 13
1.2.2. Графическое изображение последовательностей 17
1.2.3. Свойства последовательностей: монотонность, ограниченность 19
1.2.4. Метод математической индукции 23
Контрольные вопросы и задания 26
Упражнения 26
1.3. Предел последовательности 27
1.3.1. Определение предела последовательности 27
1.3.2. Свойства предела последовательности 34
1.3.3. Арифметические операции над пределами 37
1.3.4. Техника вычисления пределов дробно-рациональных выражений 40
1.3.5*. Техника вычисления пределов выражений, содержащих радикалы.... 41
1.3.6. Число е 43
Контрольные вопросы и задания 45
Упражнения 45
1.4. Числовые ряды 46
1.4.1. Определение числового ряда 46
1.4.2. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 49
Контрольные вопросы и задания 53
Упражнения 53
1.5. Определение длины окружности и площади круга 54
1.5.1. История вопроса 54
1.5.2. Определение длины окружности 55
1.5.3. Определение площади круга 60
Контрольные вопросы и задания 63
Упражнения 63
Глава 2. Предел функции, непрерывность 65
2.1. Предел функции в точке 66
Контрольные вопросы и задания 79
Упражнения 79
2.2. Непрерывность 79
Контрольные вопросы и задания 84
Упражнения 85
2.3. Свойства непрерывных функций 85
Контрольные вопросы и задания 97
Упражнения 98
2.4. Предел функции в бесконечности 99
Контрольные вопросы и задания 102
Упражнения 102
2.5*. Бесконечные пределы 102
Контрольные вопросы и задания 104
Упражнения 104
2.6*. Односторонние бесконечные пределы 105
Контрольные вопросы и задания 106
Упражнения 106
Глава 3. Производная 107
3.1. Задачи, приведшие к понятию производной 107
3.2. Определение производной 110
Контрольные вопросы и задания 115
Упражнения 115
3.3. Свойства производной 116
Контрольные вопросы и задания 120
Упражнения 121
3.4. Операции с производными 121
3.4.1. Производная суммы и разности функций 121
3.4.2. Производная произведения функций 122
3.4.3. Производная частного 123
3.4.4. Производная суперпозиции функций 124
3.4.5. Производная обратной функции 126
Контрольные вопросы и задания 127
Упражнения 128
3.5. Производные основных элементарных функций 129
3.5.1. Производные степенных функций 129
3.5.2. Производные показательных функций 131
3.5.3. Производные логарифмических функций 131
3.5.4. Производные тригонометрических функций 132
3.5.5. Производные обратных тригонометрических функций 135
3.5.6. Таблица производных основных элементарных функций 136
Контрольные вопросы и задания 138
Упражнения 138
3.6. Уравнение касательной 140
Контрольные вопросы и задания 147
Упражнения 148
3.7*. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл 149
Контрольные вопросы и задания 153
Упражнения 154
Глава 4. Исследование функций 155
4.1. Определение интервалов монотонности функции 155
Контрольные вопросы и задания 158
Упражнения 158
4.2. Нахождение экстремумов функции 159
Контрольные вопросы и задания 169
Упражнения 170
4.3. Нахождение асимптот функции 172
Контрольные вопросы и задания 175
Упражнения 176
4.4. Определение промежутков выпуклости и вогнутости функции 177
Контрольные вопросы и задания 177
Упражнения 178
4.5. Схема исследования функции 178
Контрольные вопросы и задания 186
Упражнения 186
4.6. Исследование функции по ее графику 186
Контрольные вопросы и задания 188
Упражнения 188
Глава 5. Интеграл 191
5.1. История развития понятия интеграла и интегрального исчисления 191
5.2. Первообразная и неопределенный интеграл 196
5.2.1. Определение первообразной и неопределенного интеграла 196
5.2.2. Непосредственное интегрирование. Таблица интегралов 198
5.2.3. Свойства неопределенного интеграла 201
Контрольные вопросы и задания 205
Упражнения 205
5.3. Определенный интеграл 206
5.3.1. Определение определенного интеграла 206
5.3.2. Формула Ньютона — Лейбница 208
5.3.3. Свойства определенного интеграла 210
Контрольные вопросы и задания 214
Упражнения 214
5.4. Применение интеграла для решения прикладных задач 214
5.4.1. Вычисление площадей плоских фигур 214
5.4.2. Вычисление объемов тел вращения 219
5.4.3. Решение задач на движение тел 222
Контрольные вопросы и задания 224
Упражнения 224
Литература 226
Новые издания по дисциплине -«Математический анализ» и смежным дисциплинам 227
Ответы 229
Предметный указатель 245