Математический анализ (Школа Опойцева). Опойцев В.И.

М.: 2016 - 272 с.

Стандартная программа математического анализа (производные, интегралы) расширена добавлением ингредиентов из других дисциплин, чем достигается цельность предмета. Яснее становится «что для чего нужно». При этом изложение отличается краткостью и прозрачностью, вплоть до объяснений на пальцах. Акцент делается на понимании существа дела, причем с заботой о новичках, знакомящихся с предметом либо впервые, либо - по второму кругу, после не вполне удачного первого. Охват материала достаточно широкий, но изложение построено так, что можно ограничиться любым желаемым срезом содержания. Значительное внимание уделяется мотивации результатов. Объяснения даются «человеческим языком». Книга легко читается, самодостаточна и может служить основой при изучении матанализа. Для студентов, преподавателей, инженеров и научных работников.

Формат: pdf

Размер: 60 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
1 Стартовая площадка 8
1.1 Откуда берутся «всякие» числа 9
1.2 Всё ли так просто 10
1.3 Комплексные числа 12
1.4 Об ощущении таинственности 16
1.5 Комбинаторика 18
1.6 Бином Ньютона 20
1.7 Многочлены 21
1.8 Теоретико-множественные операции 23
2 Последовательности и пределы 26
2.1 Сходимость и пределы 26
2.2 Простейшие инструменты 28
2.3 Как работает лемма Вейерштрасса 30
2.4 Предел функции 32
2.5 Непрерывные функции 35
2.6 О теории вещественных чисел . 37
2.7 Надумана ли проблема и каковы блага 40
2.8 Равномерная непрерывность 42
2.9 Фундаментальные последовательности 43
2.10 Числовые ряды 44
3 Производная и дифференциал 51
3.1 Производная . . . * 51
3.2 Правила дифференцирования 53
3.3 Дифференциалы 55
3.4 Производные элементарных функций 59
3.5 Тропа на вершину Тейлора . . . .. 64
3.6 Разложение Тейлора 67
3.7 Контрпримеры и парадоксы 69
4 Интеграл 75
4.1 Первообразная 75
4.2 Определённый интеграл 77
4.3 Взаимосвязь интегралов 79
4.4 Техника интегрирования 81
4.5 Прикладные задачи 85
4.6 Несобственные интегралы 92
4.7 Дифференциальные уравнения 98
5 Функции нескольких переменных 105
5.1 В двух словах о векторах 105
5.2 Предел и сходимость 107
5.3 Непрерывность 109
5.4 Частные производные 110
5.5 Приращения и дифференциалы 110
5.6 Производные и дифференциалы высших порядков 112
5.7 Градиент 113
5.8 О роли повторных пределов 117
5.9 Интегралы, зависящие от параметра 122
6 Отображения, или операторы 125
6.1 Аргументы и функции как векторы 125
6.2 Линейные отображения 127
6.3 Обратимые преобразования 130
6.4 Детерминанты, или определители 132
6.5 Эквивалентные нормы 133
6.6 Дифференцирование оператора 136
6.7 Принцип сжимающих отображений 137
6.8 Обратные и неявные функции 138
7 Кратные интегралы 141
7.1 Двойные интегралы 141
7.2 Замена переменных 144
7.3 Кратные интегралы 146
7.4 Объёмы n-мерных тел 146
7.5 Сюрпризы п измерений 148
8 Векторный анализ 150
8.1 Координаты и векторы 150
8.2 Скалярное произведение 155
8.3 Векторное произведение 157
8.4 Приложения к механике 160
8.5 Дивергенция 1§3
8.6 Оператор Гамильтона 167
8.7 Циркуляция 168
9 Гладкая оптимизация 173
9.1 Безусловный экстремум 173
9.2 Достаточные условия 175
9.3 Условный экстремум 176
9.4 Общий случай 180
9.5 Нелинейное программирование 182
9.6 Интерпретация множителей Лагранжа 184
9.7 Двойственные задачи 185
10 Аналитические функции 187
10.1 О роли комплексных чисел 187
10.2 Дифференцируемость 190
10.3 Примеры 193
10.4 Простейшие свойства 194
10.5 Контурные интегралы 196
10.6 Интеграл Коши 200
10.7 Регулярность 202
10.8 Аналитическое продолжение 205
10.9 Теорема Руше 207
11 Функциональные ряды 210
11.1 Равномерная сходимость 211
11.2 Степенные ряды 212
11.3 Ортогональные разложения 214
11.4 Механизм производящих функций 217
11.5 Ряды Фурье 218
11.6 Интеграл Фурье 221
11.7 Преобразование Лапласа 223
11.8 Дельта-функция 227
12 Неподвижные точки 231
12.1 Проблемы существования решения 231
12.2 Вращение векторного поля 234
12.3 Гомотопия векторных полей 237
12.4 Ядро теории 240
12.5 Теоремы существования 243
12.6 О теореме Брауэра 245
12.7 Р-отображения 246
12.8 Алгебраическое число нулей 247
12.9 Индексы на бесконечности 248
12.10 Накрытия и гомеоморфизмы 249
12.11 Параметрические уравнения 251
13 Проблемы обучения 253
13.1 Кто мы есть и как мы учимся 254
13.2 О взаимодействии с подсознанием 257
13.3 Гипнотический вирус, будь он неладен 258
Обозначения 261
Литература 262
Предметный указатель 264