Математический анализ. Киркинский А.С.

М.: 2006 - 526 с.

Учебное пособие содержит основы математического анализа. Сохранены характер и форма изложения, принятые в пособии автора «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». Пособие рекомендуется для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям и специальностям в области техники и технологии, в том числе для студентов специальностей, требующих хорошей математической подготовки. Подробность изложения и наличие большого числа примеров и задач с решениями позволяют использовать пособие для дистанционной формы обучения и для самостоятельного изучения математики. Приводятся упражнения для самостоятельной работы и образцы тестов для компьютерного контроля текущих знаний. Для всех упражнений и тестов имеются ответы.

Формат: pdf

Размер: 2,9 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 9
Глава 1. Предел числовой последовательности 13
1.1 Действительные числа 13
1.2 Числовые последовательности и их пределы 16
1.3 Арифметические свойства пределов 20
1.3.1 Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности 20
1.3.2 Предел суммы, разности, произведения, частного . . 22
1.3.3 Понятие неопределённости 23
1.4 Признаки существования предела 25
1.4.1 Лемма о сжатой переменной 25
1.4.2 Предел монотонной последовательности 25
1.4.3 Подпоследовательности 27
1.4.4 Критерий Коши 29
1.5 Задачи с решениями 30
1.6 Упражнения для самостоятельной работы 34
1.7 Образец теста 36
Глава 2. Предел и непрерывность функций 37
2.1 Функции одной действительной переменной 37
2.1.1 Способы задания и основные свойства функций ... 37
2.1.2 Операции на множестве функций 40
2.1.3 Элементарные функции 41
2.1.4 Преобразование графиков 46
2.2 Определение и свойства предела функции 48
2.3 Непрерывность функций 55
2.3.1 Точки непрерывности и точки разрывов 55
2.3.2 Простейшие свойства непрерывных функций 58
2.3.3 Непрерывность элементарных функций 59
2.4 Задачи с решениями 61
2.5 Упражнения для самостоятельной работы 68
2.6 Образец теста 71
Глава 3. Предел и непрерывность функций (продолжение) 72
3.1 Замечательные пределы 72
3.2 Вычисление пределов с помощью эквивалентных бесконечно малых 75
3.2.1 Сравнение бесконечно малых 75
3.2.2 Следствия из замечательных пределов 78
3.2.3 Метод выделения главной части функции 80
3.3 Свойства функций, непрерывных на отрезке 81
3.4 Задачи с решениями 85
3.5 Упражнения для самостоятельной работы 89
3.6 Образец теста 90
Глава 4. Производная и дифференциал 91
4.1 Определение производной 91
4.2 Правила дифференцирования 97
4.2.1 Производная суммы, разности, произведения, частного 97
4.2.2 Производная обратной функции 99
4.2.3 Таблица производных основных элементарных функций 101
4.2.4 Производная сложной функции 101
4.2.5 Другие случаи вычисления производных 103
4.3 Дифференциал 107
4.4 Задачи с решениями 110
4.5 Упражнения для самостоятельной работы 116
4.6 Образец теста 118
Глава 5. Основные теоремы и применения дифференциального исчисления 119
5.1 Теоремы о среднем значении 119
5.2 Правило Лопиталя 122
5.3 Формула Тейлора 124
5.4 Исследование функций 131
5.4.1 Монотонность и экстремумы 131
5.4.2 Выпуклость и вогнутость 135
5.4.3 Асимптоты 137
5.4.4 Общий план построения графика 139
5.5 Задачи на наибольшее и наименьшее значения 142
5.6 Задачи с решениями 144
5.7 Упражнения для самостоятельной работы 152
5.8 Образец теста 154
Глава 6. Неопределённый интеграл 155
6.1 Определения и свойства 155
6.2 Простейшие методы интегрирования 158
6.2.1 Таблица интегралов 158
6.2.2 Замена переменной 159
6.2.3 Интегрирование по частям 162
6.3 Интегрирование рациональных выражений 163
6.4 Интегрирование иррациональных выражений 170
6.5 Интегрирование тригонометрических выражений 174
6.6 Задачи с решениями 176
6.7 Упражнения для самостоятельной работы 183
6.8 Образец теста 185
Глава 7. Определённый интеграл 186
7.1 Определение и свойства определённого интеграла 186
7.2 Интегрируемость непрерывных функций 193
7.3 Формула Ньютона-Лейбница 196
7.4 Приёмы вычисления определённых интегралов 198
7.5 Применения определённого интеграла 201
7.5.1 Вычисление площадей 201
7.5.2 Вычисление объёмов 203
7.5.3 Длина кривой 205
7.5.4 Примеры применения интеграла в физике 209
7.6 Задачи с решениями 211
7.7 Упражнения для самостоятельной работы 215
7.8 Образец теста 217
Глава 8. Несобственные интегралы 218
8.1 Несобственные интегралы с бесконечными пределами .... 218
8.1.1 Определение и свойства 218
8.1.2 Признаки сходимости несобственных интегралов от положительных функций 223
8.1.3 Абсолютная сходимость 226
8.2 Интегралы от неограниченных функций 228
8.3 Задачи с решениями 235
8.4 Упражнения для самостоятельной работы 239
8.5 Образец теста 240
Глава 9. Функции нескольких переменных 241
9.1 Множества в n-мерном евклидовом пространстве 241
9.1.1 Пространство Rn 241
9.1.2 Открытые и замкнутые множества 243
9.1.3 Предел последовательности точек Мга 244
9.1.4 Компактные и связные множества 247
9.2 Предел функции нескольких переменных 248
9.3 Определение и свойства непрерывных функций 251
9.4 Дифференцирование функций нескольких переменных . . . 254
9.4.1 Частные производные 254
9.4.2 Дифференцируемость функции. Дифференциал . . . 256
9.4.3 Частные производные и дифференциалы высших порядков 261
9.5 Задачи с решениями 263
9.6 Упражнения для самостоятельной работы 266
9.7 Образец теста 268
Глава 10. Функции нескольких переменных (продолжение) 269
10.1 Формула Тейлора 269
10.2 Экстремумы функций нескольких переменных 272
10.3 Неявные функции 279
10.4 Условные экстремумы 284
10.5 Геометрический подход к изучению функций 2 и 3 переменных 288
10.5.1 Скалярное поле 288
10.5.2 Производная по направлению 288
10.5.3 Градиент скалярного поля 290
10.5.4 Касательная плоскость и нормаль к поверхности . . . 292
10.6 Задачи с решениями 294
10.7 Упражнения для самостоятельной работы 299
10.8 Образец теста 301
Глава 11. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы 302
11.1 Мера Жордана 302
11.2 Двойные и тройные интегралы 307
11.2.1 Определение и свойства кратных интегралов 307
11.2.2 Вычисление двойных и тройных интегралов в декартовых координатах 311
11.2.3 Замена переменных в кратных интегралах 317
11.3 Криволинейные интегралы 1-го рода 323
11.4 Поверхностные интегралы 1-го рода 326
11.5 Геометрические и физические приложения интегралов . . . 331
11.6 Задачи с решениями 337
11.7 Упражнения для самостоятельной работы 343
11.8 Образец теста 346
Глава 12. Элементы теории векторных полей 347
12.1 Потенциальное векторное поле 347
12.1.1 Основные понятия 347
12.1.2 Криволинейные интегралы 2-го рода 348
12.1.3 Формула Грина 351
12.1.4 Условия потенциальности плоского векторного поля . 354
12.1.5 Нахождение потенциала 359
12.2 Поток векторного поля 360
12.2.1 Ориентация поверхности 360
12.2.2 Поверхностные интегралы 2-го рода 362
12.2.3 Формула Гаусса-Остроградского 367
12.2.4 Формула Стокса 369
12.2.5 Условия потенциальности пространственного векторного поля 372
12.3 Обзор основных характеристик векторных полей 374
12.4 Задачи с решениями 377
12.5 Упражнения для самостоятельной работы 381
12.6 Образец теста 383
Глава 13. Числовые ряды 384
13.1 Сходимость числового ряда 384
13.2 Признаки сходимости рядов с положительными слагаемыми 388
13.3 Знакопеременные ряды 395
13.4 Перестановки в рядах 398
13.5 Задачи с решениями 402
13.6 Упражнения для самостоятельной работы 406
13.7 Образец теста 408
Глава 14. Функциональные последовательности и ряды . . . 409
14.1 Поточечная и равномерная сходимость 409
14.2 Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов 414
14.3 Степенные ряды 419
14.4 Газложение функций в ряд Тейлора 425
14.5 Задачи с решениями 435
14.6 Упражнения для самостоятельной работы 438
14.7 Образец теста 440
Глава 15. Ряды Фурье. Интеграл Фурье 441
15.1 Тригонометрические ряды Фурье 441
15.1.1 Периодические функции и гармонические колебания 441
15.1.2 Ортогональность тригонометрической системы функций 442
15.1.3 Ряд Фурье по тригонометрической системе функций 444
15.1.4 Ряды Фурье для чётных, нечётных, непериодических функций 450
15.1.5 Комплексная форма ряда Фурье 452
15.2 Приближение функций многочленами 454
15.3 Абстрактные ряды Фурье в гильбертовом пространстве . . . 460
15.4 Интеграл Фурье. Преобразование Фурье 465
15.5 Задачи с решениями 472
15.6 Упражнения для самостоятельной работы 481
15.7 Образец теста 482
Глава 16. Интегралы, зависящие от параметра 483
16.1 Основные теоремы 484
16.1.1 Предельный переход под знаком интеграла 484
16.1.2 Дифференцирование по параметру 486
16.1.3 Интегрирование по параметру 490
16.2 Несобственные интегралы с параметром 492
16.3 Гамма-функция 497
16.4 Задачи с решениями 500
16.5 Упражнения для самостоятельной работы 504
16.6 Образец теста 505
Итоговые контрольные вопросы 506
Ответы к упражнениям 511
Ответы к тестам 524
Литература 525

Предлагаемое учебное пособие содержит все основные разделы математического анализа, изучаемые в техническом университете. Пособие было разработано и впервые опубликовано в Алтайском государственном техническом университете для студентов направления «Информатика и вычислительная техника». После значительной переработки пособие рекомендуется для студентов всех направлений и специальностей в области техники и технологии.